Resumen de la Tesis:

Los flujos de suspensiones y emulsiones polidispersas son aproximados frecuentemente por modelos cinemáticos unidimensionales, en los cuales la velocidad de cada especie de la fase dispersa es una función explícita del vector de concentraciones de todas las especies. Las ecuaciones de balance de masa para todas las especies forman entonces un sistema de leyes de conservación que describe la segregación espacial y la creación de áreas de diferente composición. Este tipo de modelos incluye también el flujo vehicular multi-clase, donde los vehículos pertenecen a clases diferentes de acuerdo a sus velocidades preferenciales. Estos modelos también han sido extendidos a flujos que dependen discontinuamente de la coordenada espacial, los cuales aparecen en modelos de clarificador-espesador, flujos en ductos con variación abrupta del área de sección transversal, y flujo vehicular con condiciones variables de la superficie del camino. Por otro lado, suspensiones polidispersas con partículas de N clases distintas de tamaño se han utilizado principalmente en experimentos de laboratorio, pero, en la mayoría de las aplicaciones reales, por ejemplo en procesamiento de minerales, los tamaños de las partículas están distribuídos continuamente. Primero, se presenta un modelo cinemático de separación y clasificación continua de suspensiones polidispersas (separación continua de suspensiones monodispersas). Para este fin, el montaje del clarificador-espesador (CT) es extendido a un clarificador-espesador generalizado (GCT). Los flujos de descarga son descritos por nuevos términos de sumidero singulares. Combinando el montaje GCT con el modelo para la velocidad relativa sólido-fluido (modelo de Masliyah-Lockett-Bassoon (MLB), para suspensiones polidispersas) genera un sistema de leyes de conservación no-lineales con una función de flujo discontinua y un nuevo término de transporte no-conservativo que describe los sumideros. El análisis del caso escalar (para suspensiones monodispersas) con un sumidero singular y área de sección transversal constante está enfocado en las nuevas dificultades análiticas que surgen debido a este término no-conservativo. Para este fin, se formula un problema reducido, el cual contiene el nuevo término de sumidero del modelo de clarificador-espesador generalizado, pero no el término de fuente y las discontinuidades de la función flujo. Para el problema reducido, se proporciona una definición de soluciones de entropía, basada en funcioes y flujos de entropía de tipo Kružkov. Se derivan condiciones de salto y se demuestra la unicidad de la solución de entropía. La existencia de una solución de entropía se demuestra probando la convergencia de un esquema monótono de diferencias finitas. En el caso escalar, los ejemplos numéricos ilustran que el esquema y dos variantes convergen a la solución de entropía, pero introducen cantidades diferentes de difusión numérica. En el caso de sistemas, se presenta un algoritmo numérico para la solución de este modelo junto con ejemplos numéricos, adoptando en parte datos de la literatura. El análisis relacionado a la presencia de términos de sumidero conduce a dos publicaciones. Esta tesis presenta también dos trabajos que están relacionados por el estudio de ecuaciones conservativas con función de flujo discontinua. En el primero, se presenta una nueva familia de esquemas numéricos para flujos cinemáticos con una función de flujo discontinua. Se demuestra como un esquema muy simple para el caso escalar, el cual es adaptado a la estructura "concentración × velocidad" de la función de flujo, puede extenderse a modelos cinemáticos con velocidades de fase que cambian de signo, flujos con dos o más especies (el caso de sistemas), y funciones de flujo discontinuas. Se prueba que dos esquemas particulares dentro de la familia, que se aplican a sistema de leyes de conservación, preservan una región invariante de vectores admisibles de concentración, siempre que todas las velocidades tengan el mismo signo. Además, se prueba que para el caso relevante de una discontinuidad multiplicativa de la función de flujo y una densidad máxima constante, una versión escalar converge a una solución de entropía BVt del modelo. En el otro trabajo, el conocido modelo cinemático de tránsito vehicular de Lighthill-Whitham-Richards (LWR) es extendido a un modelo de flujo unidireccional en el cual la densidad máxima a(x) representa las heterogeneidades del camino (modelo LWR heterogéneo), tales como número variable de pistas, y que puede variar en forma discontinua. Entonces, este modelo LWR heterogéneo es una ley de conservación escalar con una función de flujo discontinua espacialmente. Además, el dise ño y análisis del esquema descrito anteriormente es mejorado, mientras su simplicidad es mantenida. En particular, se reducen las pequeñas desviaciones espurias que pueden ocurrir con la versión original. Se propone también una novedosa versión del esquema de Engquist-Osher que se aplica al modelo LWR heterogéneo. Además, se propone un concepto de solución que incluye desigualdades de entropía de tipo Kružkov, y se prueba que estas desigualdades de entropía implican la unicidad de la solución. Este concepto incluye una entropía adaptada similar al tipo recientemente propuesto por Audusse y Perthame en [Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A, 135, 253-265, 2005]. Se prueba que ambos esquemas de diferencia y el esquema de Godunov mejorado usado por Daganzo en [Transp. Res. B, 29, 79-93, 1995] convergen a la única solución de entropía. En ambos trabajos, para las demostraciones de compacidad, se utiliza una novedosa estimación uniforme pero local de la variación total espacial de las soluciones aproximadas. Además, puede idearse un mejoramiento tipo MUSCL en combinación con una discretización del tiempo tipo Runge-Kutta para alcanzar precisión de segundo orden. Ejemplos numéricos y estudios de error L1 ilustran el desempeño de los esquemas de primer y segundo orden. Finalmente, el modelo cinemático unidimensional para sedimentación batch de suspensiones polidispersas de esferas pequeñas es extendido a suspensiones con distribución continua de tamaño de partículas. Para este propósito, se introduce la llamada función de densidad de fase Φ = Φ(t, x, ξ), donde ξ ∈ [0, 1] es el tamaño normalizado al cuadrado de las partículas, cuya integral con respecto a ξ en un intervalo [ξ1, ξ2], equivale a la fracción volumétrica en (t, x) ocupada por las partículas en ese rango de tamaño. El nuevo modelo matemático se obtiene combinando el modelo Masliyah-Lockett-Bassoon (MLB) para la velocidad relativa sólido-fluído para cada especie sólida con el concepto de función de densidad de fase, el cual es una ecuación cinética escalar de primer orden para Φ. Se presentan tres esquemas numéricos para la solución de esta ecuación. Se observa de un ejemplo numérico y de un estudio del error L1 que uno de estos esquemas introduce poca difusión numérica y sin oscilaciones espurias cerca de las discontinuidades. Varios ejemplos numéricos ilustran el comportamiento simulado de este tipo de suspensiones.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Raimund BüRGER, Antonio GARCíA, Matthias KUNIK: A generalized kinetic model of sedimentation of polydisperse suspensions with a continuous particle size distribution. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS), vol. 18, pp. 1741-1785, (2008)

Raimund BüRGER, Antonio GARCíA, Kenneth H. KARLSEN, John D. TOWERS: A kinematic model of continuous separation and classification of polydisperse suspensions. Computers and Chemical Engineering, vol. 32, pp. 1181-1202 (2008)

Raimund BüRGER, Antonio GARCíA, Kenneth H. KARLSEN, John D. TOWERS: A family of numerical schemes for kinematic flows with discontinuous flux. Journal of Engineering Mathematics, vol. 60, pp. 387-425, (2008)

Raimund BüRGER, Antonio GARCíA, Kenneth H. KARLSEN, John D. TOWERS: Difference schemes, entropy solutions, and speedup impulse for an inhomogeneous kinematic traffic flow model. Networks and Heterogeneous Media, vol. 3, pp. 1-41, (2008)

Raimund BüRGER, Antonio GARCíA, Kenneth H. KARLSEN, John D. TOWERS: On an extended clarifier-thickener model with singular source and sink terms. European Journal of Applied Mathematics, vol. 17, 3, pp. 257-292, (2006)

Otras Publicaciones (ISI)

Raimund BüRGER, Antonio GARCíA: Centrifugal settling of polydisperse suspensions with a continuous particle size distribution: a generalized kinetic description. Drying Technology, vol. 26, pp. 1024-1034, (2008)