Resumen de la Tesis:

En esta tesis desarrollamos el análisis de error a-priori y a-posteriori de algunos métodos de elementos finitos mixtos estabilizados. Para tal efecto consideramos los siguientes problemas modelos: Un problema de Poisson con condiciones de contorno mixtas. Un problema de Poisson con condiciones de tipo Neumann. Un problema de elasticidad lineal con condiciones de tipo Dirichlet. Para el primer problema presentamos una nueva formulación mixta aumentada con multiplicador de Lagrange que nos permite analizar su resolución numérica. Específicamente, el esquema aumentado se deduce introduciendo términos residuales de mínimos cuadrados provenientes de la ecuaciones constitutiva y de equilibrio. Utilizamos la teoría clásica de Babuvska-Brezzi para demostrar que laformulación mixta dual resultante y su esquema de Galerkin correspondiente son problemas bien planteados, y proporcionamos las razones de convergencia optimales. Luego, desarrollamos el análisis de error a-posteriori de dos estimadores diferentes, uno de tipo residual, que resulta ser confiable y eficiente, y otro estimador basado en la proyección de Ritz del error, que resulta ser confiable y cuasi-eficiente. Finalmente, incluimos resultados numéricos que avalan la eficiencia de ambos esquemas adaptivos. Para el segundo problema presentamos el análisis de error a-priori y a-posteriori de un nuevo esquema estabilizado, el cual introduce la traza de la solución en la frontera como un multiplicador de Lagrange. Esto nos sugiere enriquecer la formulación con un término residual medido en la norma del espacio de Sobolev de orden 1/2. Utilizamos bases de ondelettes para construir una forma bilineal, equivalente al producto escalar respectivo, que permite controlar este término estabilizador. Probamos que tanto la formulación variacional como el esquema de Galerkin asociado son problemas bien propuestos, y deducimos las razones de convergencia optimales correspondientes. Además, presentamos el análisis de un estimador de error a-posteriori que resulta ser confiable y cuasi-eficiente. Finalmente, para el problema de elasticidad consideramos una nueva formulación aumentada que se origina al incluir términos de mínimos cuadrados provenientes de las ecuaciones constitutiva y de equilibrio, y de la relación que define la rotación en términos de los desplazamientos. Para esta formulación desarrollamos un estimador de error de tipo residual confiable y eficiente. Presentamos resultados numéricos que confirman las propiedades teóricas del estimador y la versatilidad del esquema adaptivo.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Tomás BARRIOS, Gabriel N. GATICA, Freddy PAIVA: A-priori and a-posteriori error analysis of a wavelet-based stabilization for the mixed finite element method. Numerical Functional Analysis and Optimization, vol. 28, 3-4, pp. 265-286, (2007)

Tomás BARRIOS, Gabriel N. GATICA: An augmented mixed finite element method with Lagrange multipliers: a-priori and a-posteriori error analyses. Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 200, 2, pp. 653-676, (2007)

Tomás BARRIOS, Gabriel N. GATICA, María GONZáLEZ, Norbert HEUER: A residual based a posteriori error estimator for an augmented mixed finite element method in linear elasticity. Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 40, 5, pp. 843-869, (2006)

Tomás BARRIOS, Gabriel N. GATICA, Freddy PAIVA: A wavelet-based stabilization of the mixed finite element method with Lagrange multipliers. Applied Mathematics Letters, vol. 19, 3, pp. 244-250, (2006)

Otras Publicaciones (ISI)

Tomás BARRIOS, Gabriel N. GATICA, Luis F. GATICA: On the numerical analysis of a nonlinear elliptic problem via mixed-FEM and Lagrange multipliers. Applied Numerical Mathematics, vol. 48, 2, pp. 135-155, (2004)

Rodolfo ARAYA, Tomás BARRIOS, Gabriel N. GATICA, Norbert HEUER: A-posteriori error estimates for a mixed-FEM formulation of a non-linear elliptic problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 191, 21-22, pp. 2317-2336, (2002)