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Tesis de Postgrado de Eligio Colmenares

Colmenares, EligioProgramaDoctorado en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción
Año de Ingreso2013
Año de Egreso2016
Título de la TesisMétodos de Elementos Finitos Mixtos para el Modelo de Boussinesq Estacionario

Resumen de la Tesis:

Esta tesis tiene como objetivo desarrollar, analizar matemáticamente e implementar computacionalmente diversos métodos de elementos finitos mixtos para la simulación numérica del fenómeno de convección natural, o problemas de flujos accionados térmicamente, en el marco de aproximación de Boussinesq; un sistema dado por las ecuaciones de Navier-Stokes y de advección–difusión, acopladas no linealmente a través de fuerzas de flotabilidad y transferencia de calor por convección. En primer lugar presentamos dos esquemas mixtos aumentados basados en la incorporación de términos de Galerkin redundantes y la introducción de un tensor de pseudo-esfuerzos modificado en las ecuaciones del fluido. En cuanto a la ecuación del calor, se consideran por separado una formulación primal–mixta y otra completamente mixta, mediante la introducción de la componente normal del gradiente de temperatura como una incógnita adicional sobre la frontera, y de una variable vectorial auxiliar definida en todo el dominio dependiendo de la velocidad del fluido, la temperatura y su gradiente, respectivamente. En ambos casos, se utilizan estrategias de punto fijo para analizar y establecer el buen planteamiento de ambas formulaciones usando el teorema clásico de punto fijo de Banach en combinación con el teorema de Lax-Milgram y la teoría de Babuška-Brezzi, haciendo suposiciones de datos suficientemente pequeños y bajo una elección apropiada de parámetros de estabilización. Se establecen además la solubilidad y convergencia de los esquemas de Galerkin asociados para subespacios de elementos finitos arbitrarios y, en el caso primal-mixto, suponiendo que los correspondientes para aproximar la temperatura y la incógnita en la frontera satisfacen una condición inf–sup. Para cada uno de los métodos mixtos aumentados ya mencionados se realizó un análisis de error a posteriori y se propusieron algoritmos adaptativos asociados en dos y tres dimensiones. Técnicas de dualidad y descomposiciones de Helmholtz estables son las principales herramientas que se han empleado para derivar un indicador de error global y para demostrar su propiedad de confiabilidad. La propiedad de eficiencia se demostró a nivel global a través de técnicas de localización de funciones burbujas y/o resultados conocidos de anteriores trabajos sobre análisis de error a posteriori para esquemas mixtos relacionados. Finalmente proponemos y analizamos dos nuevos métodos duales–mixtos que exhiben la misma estructura clásica de las ecuaciones de Navier-Stokes. Aquí incorporamos el gradiente de la velocidad y un tensor de esfuerzos tipo Bernoulli como incógnitas auxiliares en las ecuaciones del fluido, mientras que en el calor se considera una formulación primal y otra mixta–primal. Sin ningún tipo de restricciones sobre los datos, se derivan estimaciones a priori y la existencia de soluciones continuas y discretas para ambas formulaciones utilizando el principio clásico de Leray-Schauder. Además, la unicidad se demuestra bajo hipótesis de datos suficientemente pequeños. Se demuestra que todas las técnicas descritas anteriormente son cuasi-óptimamente convergentes para subespacios de elementos finitos específicos, y permiten aproximaciones de alto orden, no sólo para las principales incógnitas sino también para varias variables de interés físico que se pueden obtener por un simple post-procesamiento, tales como la presión, la vorticidad del fluido, el tensor de esfuerzos, y los gradientes de velocidad y temperatura. Se proveen también experimentos numéricos que respaldan los resultados teóricos e ilustran la robustez y precisión de cada método, incluyendo problemas clásicos de referencia.

Director(es) de Tesis Gabriel N. Gatica, Ricardo E. Oyarzua
Fecha de Aprobación Proyecto de Tesis2015, Enero 05
Fecha de Defensa de Tesis2016, Diciembre 16
Seguimiento ProfesionalProfesor Asistente, Universidad del Bio-Bio, a partir de Noviembre de 2016.
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Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Eligio COLMENARES, Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZUA: A posteriori error analysis of an augmented mixed-primal formulation for the stationary Boussinesq model. Calcolo, vol. 54, 3, pp. 1055-1095, (2017).

Eligio COLMENARES, Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZUA: An augmented fully-mixed finite element method for the stationary Boussinesq problem. Calcolo, vol. 54, 1, pp. 167-205, (2017).

Eligio COLMENARES, Michael NEILAN: Dual-mixed finite element methods for the stationary Boussinesq problem. Computers & Mathematics with Applications, vol. 72, 7, pp. 1828-1850, (2016).

Eligio COLMENARES, Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZUA: Analysis of an augmented mixed-primal formulation for the stationary Boussinesq problem. Numerical Methods for Partial Differential Equations, vol. 32, 2, pp. 445-478, (2016).

Eligio COLMENARES, Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZUA: Fixed point strategies for mixed variational formulations of the stationary Boussinesq problem. Comptes Rendus Mathematique, vol. 354, 1, pp. 57-62, (2016).

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