Resumen de la Tesis:

El objetivo principal de esta tesis es aproximar un problema de acoplamiento de fluido con medio poroso utilizando Metodos de Elementos Finitos Mixtos. El modelo acoplado esta determinado por las ecuaciones de Stokes y Darcy, respectivamente, y las condiciones de interfase correspondientes estan dadas por conservacion de masa, balance de fuerzas normales y la ley de Beavers-Joseph-Saffman. Primero se desarrolla un análisis a priori de una formulacion primal en el fluido y mixta en el medio poroso, y se demuestra que cualquier par de espacios de elementos finitos estables para Stokes y Darcy implican la estabilidad del esquema de Galerkin correspondiente. Lo anterior extiende resultados previos que demuestran existencia y unicidad de un esquema de Galerkin definido por elementos de Bernardi-Raugel y de Raviart-Thomas de bajo orden. Posteriormente, se realiza un analisis a priori y a posteriori de una formulacion variacional mixta en ambos dominios, del problema acoplado de Stokes-Darcy. Las incognitas principales consideradas son el pseudo-esfuerzo y la velocidad en el fluido, junto con la velocidad y la presion en el medio poroso. Ademas, las condiciones de transmision se convierten en esenciales, lo cual induce la introduccion de los valores de la presi´on del medio poroso y de la velocidad del fluido en la interfase como incognitas adicionales que cumplen el rol de multiplicadores de Lagrange. Se demuestra existencia y unicidad a nivel continuo, y a nivel discreto se introducen condiciones suficientes para que el esquema de Galerkin asociado sea estable. En particular se pueden utilizar elementos de Raviart-Thomas de bajo orden y elementos constantes a trozo para las velocidades y presiones en ambos dominios, junto con elementos continuos lineales a trozo para los multiplicadores de Lagrange. Ademas, se obtiene un estimador de error a posteriori, confiable y eficiente para el problema acoplado. Finalmente, se generalizan los resultados anteriores y se estudia un acoplamiento de un fluido viscoso incompresible con un medio poroso matem´aticamente determinado por una ley no lineal. El modelo acoplado no lineal esta definido por la ecuacion de Stokes y un sistema de Darcy no lineal. En este ultimo la permeabilidad est´a representada por un operador no lineal, fuertemente monotono y Lipschitz continuo. Se introduce un esquema mixto en ambos dominios y se demuestra existencia y unicidad de solucion a nivel continuo y discreto, con su estimacion a priori correspondiente. Ademas se obtiene un estimador de error a posteriori eficiente y confiable para el problema acoplado no lineal. Para todas las situaciones descritas anteriormente se presentan ensayos num´ericos que confirman los resultados teoricos obtenidos.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZúA, Francisco J. SAYAS: A twofold saddle point approach for the coupling of fluid flow with nonlinear porous media flow. IMA Journal of Numerical Analysis, vol. 32, 3, pp. 845-887, (2012).

Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZúA, Francisco J. SAYAS: Analysis of fully-mixed finite element methods for the Stokes-Darcy coupled problem. Mathematics of Computation, vol. 80, 276, pp. 1911-1948, (2011).

Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZúA, Francisco J. SAYAS: Convergence of a family of Galerkin discretizations for the Stokes-Darcy coupled problem. Numerical Methods for Partial Differential Equations, vol. 27, 3, pp. 721-748, (2011).

Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZúA, Francisco J. SAYAS: A residual-based a posteriori error estimator for a fully-mixed formulation of the Stokes-Darcy coupled problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 200, 21-22, pp. 1877-1891, (2011).

Otras Publicaciones (ISI)

Gabriel N. GATICA, Salim MEDDAHI, Ricardo OYARZúA: A conforming mixed finite-element method for the coupling of fluid flow with porous media flow. IMA Journal of Numerical Analysis, vol. 29, 1, pp. 86-108, (2009)