Entre el martes 2 y el viernes 5 de agosto, se realizó el tradicional Congreso de Matemática Capricornio, COMCA, en el que el Centro de Investigación en Ingeniería Matemática, CI²MA, de la Universidad de Concepción, tuvo una destacada participación. El COMCA, que en esta vigesimoquinta versión se realizó en la Universidad Católica del Norte, en Antofagasta, es una actividad académica de divulgación científica que se efectúa anualmente desde 1991, la cual busca impulsar el desarrollo de las diferentes áreas de la Matemática en el país, especialmente en la zona norte, aportando a la interdisciplinariedad en los problemas que se abordan. Para esto, se realiza una serie de actividades como cursillos, conferencias, sesiones invitadas y comunicaciones, que se constituyen en instancias para la presentación de trabajos y discusiones temáticas en áreas como: Ecuaciones Diferenciales, Estadística, Sistemas Dinámicos, Teoría de Control, Análisis Numérico, Teoría de Matrices, Teoría de Grafos, Docencia Universitaria, y Física Matemática. En este contexto, un grupo de investigadores y tesistas del CI²MA se trasladaron a la capital de la Región de Antofagasta para participar en la Sesión Invitada “Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales”, la cual, coordinada por el director del CI²MA, Gabriel Gatica, tuvo la mayor cantidad de contribuciones de entre todas las sesiones del evento. Mas aún, de un total de quince presentaciones en ella, trece estuvieron a cargo de investigadores y estudiantes de nuestro Centro, algunos de cuyos detalles se describen a continuación.

El alumno de doctorado Elvis Gavilán expuso la charla titulada: “A computational approach to a spatio-temporal and gender-structured model for hantavirus infection in rodents”, en la que abordó en detalle las dinámicas de transmisión de esta enfermedad, lo cual representa una problemática relevante de salud pública en nuestro país. Todo esto a partir del modelamiento determinista que analiza la presencia de hembras y machos de las especies de roedores que la transmiten y, cómo ése es un factor que puede influir en la propagación de la enfermedad.  A su vez, “A high order HDG method for Stokes flow in curved domains” fue el nombre de la presentación a cargo del también estudiante de Doctorado, Felipe Vargas, quien propuso un método discontinuo de Galerkin de alto orden para las ecuaciones de Stokes en un dominio curvo, probando un orden de convergencia óptimo por parte del método, incluyendo experimentos numéricos que validan las estimaciones teóricas del error. Por su parte, el propio Gabriel Gatica presentó algunos contenidos de la investigación “A posteriori error analysis of a fully-mixed formulation for the Navier–Stokes/Darcy coupled problem with nonlinear viscosity” que ha desarrollado junto al tesista Sergio Caucao, co-dirigido con el investigador Ricardo Oyarzúa, quienes desarrollaron una formulación para el acoplamiento entre las ecuaciones de Navier-Stokes, con viscosidad no lineal, y el modelo lineal de Darcy, además de generar un estimador confiable y eficiente del error a posteriori para los sistemas de elementos finitos asociados. Además, el estudio presentado incluye ilustraciones del rendimiento del algoritmo adaptativo desarrollado en el diseño del estimador.

El doctorando Eligio Colmenares, también co-dirigido por Gatica y Oyarzúa, dio cuenta de su estudio “A posteriori error analysis of an augmented fully–mixed FEM for the Boussinesq problem”, en el que detalló un trabajo para simular numéricamente flujos de calor a través de un marco de aproximación de Boussinesq. Su presentación incluyó la explicación teórica de por qué las técnicas numéricas utilizadas funcionan, y bajo qué condiciones y con qué precisión lo hacen. Además, se presentaron algoritmos que fortalecen estos métodos, al hacerlos más eficientes para poder utilizarlos en situaciones complejas y aproximadas a la realidad. Por su parte, la investigadora del CI²MA Jessika Camaño presentó su trabajo “A priori and a posteriori error analyses of a flux-based mixed-FEM for convection-diffusion-reaction problems”, en el que propone y analiza un nuevo método de elementos finitos para el problema de convección-reacción con condiciones de contorno de Dirichlet. En su charla se incluyó resultados numéricos para ilustrar el buen funcionamiento del método propuesto y la capacidad del algoritmo respectivo para localizar las singularidades de la solución y confirmar la tasa teórica de convergencia, y se reportó las propiedades teóricas del estimador establecido. “An augmented stress-based mixed finite element method for the Navier-Stokes equations with variable viscosity” es el nombre de la investigación de que dio cuenta el académico Ricardo Oyarzúa, analizando una nueva formulación para las ecuaciones de Navier-Stokes con densidad constante y viscosidad variable en función de la magnitud de la tensión que se aplica. Este estudio es una extensión natural de una técnica desarrollada en un paper reciente en que Oyarzúa, junto a otros autores, abordan el mismo problema, pero con una viscosidad que depende de forma no lineal del gradiente de la velocidad, en lugar de la tensión.

Por otro lado, Luis Gatica expuso los resultados de su investigación “Analysis of a HDG method applied to n-dimensional linear Brinkman models”, dando a conocer un método para el modelo de Brinkman para fluidos en medios porosos, en dos y tres dimensiones, en condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas. Los resultados de este trabajo demuestran que los modelos discretos y continuos correspondientes estaban bien propuestos, lo que le permitió desarrollar luego un estimador de error a posteriori confiable y eficiente, y proponer un algoritmo adaptativo asociado a la aproximación HDG. El ayudante de investigación, Julio Careaga, dio a conocer algunas de las conclusiones de su trabajo “Entropy solutions of a scalar conservation law modelling sedimentation in vessels with varying cross sectional área” en el que afirma que la sedimentación de una suspensión ideal al interior de una recipiente, puede ser descrita a través de una ley de conservación hiperbólica no lineal, con una función de flujo no convexa y una función de peso que depende de la posición espacial. Además de la aplicación en tratamientos de aguas servidas, se pueden derivar modelos similares que aborden problemas tan variados, como el tráfico de vehículos y peatones. Por su parte, el estudiante de doctorado Carlos García, dio cuenta de los resultados de su investigación “Finite element analysis of a pressure-stress formulation for the time-domain fluid-structure interaction”, en la que presentó un análisis de convergencia para la discretización en espacio de un sistema de EDPs con dependencia temporal que modela un problema de interacción elasto-acústica. Esto a través de un método de elementos finitos de Arnold-Falk-Winther con simetría débil y el método usual de elementos finitos de Lagrange en el medio acústico.

“High order numerical schemes for one-dimensional non-local conservation laws” se titula el trabajo presentado por el investigador Luis Villada. En él, se aborda la aproximación numérica a las soluciones de las leyes de conservación con flujo no local. Las ecuaciones resultantes pueden ser aplicadas, por ejemplo, en la modelación de flujos de tránsito vehicular, o en problemas de sedimentación y relación líquido-sólido. Además, se propone usar un método discontinuo de Galerkin y un modelo de volumen finito WENO, para evitar las oscilaciones no despreciables que resultan de la aplicación de los métodos de cálculo clásicos, basado en modelos de primer orden. También presentó en la sesión, el tesista de Doctorado Víctor Osores. Su trabajo se denominó “Métodos de alto orden para sistemas hiperbólicos con productos no conservativos, aplicados a sistemas shallow water multicapa con sedimentación polidispersa”, en el que se considera una mezcla formada por un fluido viscoso y material particulado disperso en ella, y donde el modelo que se presenta nace de combinar un sistema Shallow Water con un sistema de sedimentación polidispersa. De esta forma es posible conocer tanto el comportamiento vertical de la especies en la mezcla como también el movimiento horizontal de ellas en el fluido. Además, el estudiante del Magister en Matemática Aplicada de la Universidad del Bío-Bío, Néstor Sánchez presentó su estudio “A priori and a posteriori error analysis of an augmented mixed-FEM for the Navier-Stokes/Brinkman problem”, el que ha desarrollado bajo la dirección de Luis Gatica y Ricardo Oyarzúa. En él, Sánchez plantea un método de elementos finitos para el problema de Navier-Stokes Brinkman, a través de una técnica que consiste en introducir un tensor de estrés en relación con el gradiente y la presión, proponiendo un formulación para modelar la velocidad. A su vez, el investigador de la Universidad de Costa Rica, Juan Gabriel Calvo, quien se encuentra actualmente realizando una estadía en el CI²MA, presentó su trabajo “A Schwarz algorithm in H (curl) for irregular subdomains in 3D”, en el que presenta un nuevo algoritmo de Schwarz para problemas en 3D que, a diferencia de otros anteriores, no resulta tan restrictivo respecto de la geometría de los subdominios, resultando válido para la mayoría de ellos. El objetivo es que el algoritmo desarrollado pueda ser definido por cualquier geometría de subdominios y que funcione con coeficientes altamente discontinuos.