“Métodos de Elementos Virtuales para Problemas Espectrales” es el nombre de la tesis que llevó a Gonzalo Rivera a obtener la máxima calificación en su examen final para acceder al grado académico de Doctor en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática de la Universidad de Concepción.

El objetivo de la investigación, realizada bajo la dirección de investigadores del Centro de Investigación en Ingeniería Matemática, CI²MA, de la UdeC, fue en palabras del flamante Doctor “analizar la aplicación de los métodos de elementos virtuales (VEM) a los problemas espectrales de Steklov y de vibraciones acústicas, además de desarrollar un VEM para resolver el problema de flexión de placas moderadamente gruesas, modeladas por las ecuaciones de Reissner-Mindlin. En lo que se refiere al problema de valores propios de Steklov, se propuso una discretización por medio de elementos virtuales para aproximar numéricamente el problema de autovalores. Se estableció que el esquema resultante proporciona una aproximación correcta del espectro y que las estimaciones de los errores son de orden óptimo para las funciones propias y los valores propios. Además, se demostró una estimación de mejor orden para el cálculo del error de las funciones propias en la frontera libre. Adicionalmente, se desarrolló un estimador de error a posteriori del tipo residual completamente calculable, para la aproximación por VEM del problema espectral de Steklov, y se probó que el estimador obtenido es equivalente al error salvo términos de orden superior. Para el problema de vibración acústica se introdujo una formulación variacional basándose sólo en el desplazamiento del fluido, se desarrolló una discretización VEM mixta con rotor nulo, y se demostró que el esquema virtual resultante proporciona una aproximación correcta del espectro con aproximaciones de orden óptimo. Con este fin, adicionalmente se probaron estimaciones óptimas de aproximación para VEM mixto con rotor nulo. Finalmente, se estudió un VEM para el problema de flexión de placas de Reissner-Mindlin. La formulación variacional del problema se escribió en términos de las variables de la deformación de corte y la deflexión para evitar el fenómeno de shear-locking y se propuso una formulación virtual discreta conforme para la deformación de corte y deflexión, respectivamente. Se demostró que las estimaciones del error son óptimas para todas las variables involucradas (en las normas naturales de la formulación adoptada), con constantes independientes del espesor de la placa”, detalla Rivera.

Respecto de la calidad del trabajo realizado por Rivera, su codirector de tesis, David Mora destacó que “el trabajo de Gonzalo fue excelente. Considerando la naturaleza de los diferentes problemas analizados (problemas espectrales, problema fuente y análisis a posteriori del nuevo VEM en versión primal y mixta), los resultados obtenidos por él ayudarán al desarrollo de VEM en futuras investigaciones. Cabe destacar que la aplicación de los métodos de elementos virtuales (VEM) a los problemas espectrales de Steklov constituye el primer trabajo en que se aplica esta metodología a dichos modelos”, enfatizó el académico de la Universidad del Bío-Bío. Gonzalo coincide con este diagnóstico, en cuanto a las aplicaciones de sus resultados. “Como trabajo futuro o posible línea de investigación, la idea es extender la aplicación de los VEM a los problemas espectrales de Reissner-Mindlin de vibraciones y pandeo de placas, estudiar la factibilidad de aplicar las técnicas VEM a la modelación numérica de láminas y, a su vez, desarrollar un método de elementos virtuales de aproximaciones espectrales para los sistemas acoplados que implican la interacción entre fluidos y estructuras delgadas”, explica Rivera.

También destacó el desempeño investigativo de su alumno el investigador del CI²MA, Rodolfo Rodríguez, quien también cumplió una labor de cotutor en el desarrollo de la tesis. “Gonzalo encaró una temática que recién se iniciaba dentro del Análisis Numérico de Ecuaciones en Derivadas Parciales, los así llamados ‘Métodos de Elementos Virtuales’, los que pueden interpretarse como una variante de los muy conocidos ‘Métodos de Elementos Finitos’. Como en estos, el dominio del problema se subdivide en subdominios, pero en el caso de los métodos de elementos virtuales estos pueden ser mucho más generales que en los métodos de elementos finitos. La aproximación de la solución en cada subdominio no se conoce explícitamente sino ‘virtualmente’ a través de algunos grados de libertad de la misma. Esto genera el desafío de desarrollar la matemática necesaria para trabajar con esos elementos que sólo se conocen virtualmente y de lograr códigos computacionales que permitan su implementación. Para ello Gonzalo tuvo que internarse en profundidad en las demostraciones de los resultados teóricos existentes para poder extenderlos a este nuevo marco teórico. Él hizo un gran esfuerzo y logró nuevos resultados con el apoyo de sus directores locales y sobre todo con el de su codirector Lourenco Beirao da Veiga, de la Universidad de Milán, quien es uno de los creadores y máximos impulsores de los elementos virtuales”, explicó el investigador.

Gonzalo, en tanto, tras obtener el máximo grado académico, planea seguir ligado a la actividad científica. “Espero poder continuar con mi investigación y extender la aplicabilidad de los métodos de elementos virtuales a diversos problemas y así obtener contribuciones originales que ayuden a enriquecer el conocimiento existente en el área de los VEM. Por lo pronto, continuaré mi investigación en este centro, ya que desarrollaré aquí un mini-postdoc de cuatro meses financiado por el proyecto basal conjunto del CI²MA y el CMM”.