La primera quincena de diciembre, Felipe Sandoval y Cristian Inzunza defendieron con éxito sus memorias de grado de la carrera Ingeniería Civil Matemática, ambas inspirados en un enfoque completamente mixto del metodo de elementos finitos. Con su tesis titulada: Un Método de Elementos Finitos Completamente Mixto para el Acoplamiento de las Ecuaciones de Navier-Stokes y Darcy-Forchheimer, Felipe fue dirigido por los doctores Gabriel Gatica y Sergio Caucao, y su comisión evaluadora estuvo compuesta, ademas, por Eligio Colmenares (UBB) y Ricardo Oyarzúa (UBB). En tanto, el título de la tesis de Cristian fue: Un Método de Elementos Finitos Completamente Mixto Aumentado para un Problema Acoplado de Flujo-Transporte, y fue dirigida por el Dr. Gatica. Su comisión evaluadora estuvo conformada, tambien, por Jessika Camaño (UCSC) y Luis Gatica (UCSC). Luego de aprobar exitosamente sus tesis de pregrado, ambos jóvenes aspiran a seguir estudios de doctorado ya sea en Chile o en el extranjero.

Área novedosa

La tesis realizada por Felipe Sandoval es una investigación mediante la cual trataba de encontrar aproximaciones de ciertas incognitas que rigen un problema que podemos modelar con sistemas de ecuaciones diferenciales que dependen de la naturaleza del fenomeno fisico. “En este caso, se modela un fluido que interactúa con un medio poroso. Utilizamos las ecuaciones de Navier-Stokes y Darcy-Forchheimer para el fluido libre y el medio poroso, respectivamente. Cabe destacar que se utilizó teoría de elementos finitos mixtos para lograr el objetivo. Como principales aplicaciones se pueden mencionar extracción de petróleo, filtraciones industriales, el movimiento de la sangre en tumores, entre otras”, explica el nuevo egresado. Se trata de un área bastante novedosa ya que, si bien durante las últimas décadas se le ha dado más énfasis a los problemas acoplados, existen pocos trabajos anteriores que se rigen por las mismas ecuaciones, uno de ellos precisamente donde los dos guías de tesis de Felipe son parte de los autores. Para él: “mi principal motivación es poder aportar con la investigación que realiza el Centro de Investigación en Ingeniería Matemática (CI²MA) y, por supuesto, de cierta forma, continuar y contribuir al trabajo ya hecho por mis guías de tesis. Ahora bien, el principal aporte que se logro es la posibilidad de aproximar directamente tambien otras incognitas de interes fisico del modelo, lo cual extiende la aplicabilidad del metodo. 

Junto con agradecer el apoyo de sus profesores guías, y destacar que el trabajo realizado en esta tesis se tradujo en un Preprint, Felipe señala que “los principales resultados obtenidos son los usuales con respecto a las investigaciones de este tipo; es decir, bajo los parámetros establecidos, se logra probar que las formulaciones continua y discreta tienen únicas soluciones y que además la solución discreta es una buena aproximación de la solución continua. Se muestran también, ensayos numéricos que ilustran el buen desempeño del método”.

Enfoque completamente mixto

Un análisis numérico para el acoplamiento de las ecuaciones de Stokes con un problema del transporte, la cual describe el transporte de una especie por un fluido y además posee funciones no lineales, fue el tema de la tesis de Cristian Inzunza. En la investigación, tanto en las ecuaciones de Stokes como en la del transporte, se utilizo una formulación mixta. Si bien la temática en sí ya es bastante novedosa, en este caso el mayor aporte es el hecho de que se aborde con un enfoque completamente mixto, lo cual amplía la variedad de métodos para abordar este tipo de problemas. “En uno de los cursos que tomé con el Profesor Gatica, de hecho el primero de ellos, estudiamos varios problemas y analizamos cómo resolverlos mediante elementos finitos mixtos y me pregunté si sería capaz de desarrollar algo parecido a eso. Cuando le pedí tema de tesis al profesor, él dijo que el problema acoplado de fluido con transporte había sido estudiado realizando una formulación mixta en el fluido y primal en el transporte, por lo que sería interesante analizar que pasaba si se tomaba un enfoque completamente mixto”, señala. Como resultados de la investigación se obtuvieron las condiciones para asegurar la existencia y unicidad de la formulación continua, y se logró asegurar la existencia de la formulación discreta. “Además de obtener aproximaciones de las soluciones exactas, y gracias al enfoque por el que se optó, el metodo resultante permite mayor libertad de elección de subespacios de elementos finitos a emplear. También se realizaron experimentos numéricos los cuales verificaron lo que se probó en la teoría”, dice.

Cristian, quien tambien comenta que el trabajo realizado en su tesis se tradujo en un Preprint, agradece la disposición y confianza del Dr. Gatica que posibilitó sus logros académicos y señala que “el siguiente paso es realizar la estimación de error a posteriori. Por otra parte, se quiere también adaptar el enfoque que se realizó en la tesis para el caso de modelos de sedimentación-consolidación”.