Desde la década del ‘70, el Instituto de Matemáticas, IMA, de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso realiza la Semana de la Matemática que, este año, celebró su 48° versión, como una forma de favorecer la generación de espacios de divulgación y discusión sobre la matemática, sus aplicaciones, enseñanza y aprendizaje, convocando a estudiantes y académicas/os de diversas instituciones.  

Entre las tres unidades temáticas que incluyó la edición de este año, la Sesión de Análisis Numérico, contó con la participación de actuales miembros y ex integrantes del Centro de Investigación en Ingeniería Matemática, CI²MA, de la Universidad de Concepción (UdeC). 

Esto porque la sesión propiamente tal fue organizada por el Dr. Patrick Vega, investigador postdoctoral de la casa de estudios que albergó el encuentro, y contó con charlas del propio Vega, además del Dr. Rodrigo Véjar Asem (U. de La Serena), ambos titulados del Programa de Doctorado en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática de la UdeC; y de los investigadores del CI²MA Dr. Rodolfo Araya Durán (Director), Dr. Mauricio Sepúlveda Cortés y Dr. Luis Gatica Simpertigue (UCSC).  

“Fue la primera versión de esta sesión de Análisis Numérico en el contexto de la Semana de la Matemática, que es el congreso de matemática más antiguo del país. Espero que esto sea una constante en este tradicional evento. Por otra parte, es gratificante mencionar que esta sesión fue organizada por un ex alumno de nuestro programa de doctorado, lo que hace cada vez más patente la influencia de la Universidad de Concepción en el desarrollo del Análisis Numérico en nuestro país”, comentó el Dr. Araya.  

Ejemplos de colaboración interinstitucional 

El Dr. Gatica detalla que presentó “una formulación mixta aumentada para ecuaciones de Brinkman-Forchheimer dependientes del tiempo. El método entrega tasas de convergencia teóricas optimales sin la condición de cuasi uniformidad de la malla, lo que mejora resultados previos donde sólo se lograron tasas suboptimales bajo condiciones de cuasi uniformidad de la malla para formulaciones del tipo pseudoesfuerzo-velocidad y velocidad-gradiente de velocidad-pseudoesfuerzo”. 

El científico define el encuentro como “un evento científico clásico en la comunidad matemática que  resultó ser para mí una excelente ocasión para volver a la presencialidad en materia de participación en eventos científicos, en particular del área de Análisis Numérico, donde tuve la posibilidad de interactuar, después de un largo tiempo que no fue posible por la pandemia, con otros investigadores nacionales del área y compartir lo que estamos haciendo en materia de investigaciones en desarrollo y a futuro”.  

“El trabajo presentado”, agrega el Dr. Gatica, “fue liderado por el ex-graduado del programa Doctorado en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática de la UdeC Sergio Caucao, quien, actualmente, está completando en el Departamento de Matemática y Física Aplicadas de la Universidad Católica de la Santísima Concepción, su proyecto PAI-ANID No 77190084 del programa Convocatoria Nacional Subvención a la Instalación en la Academia 2019”. 

En tanto, el Profesor Sepúlveda presentó “resultados sobre métodos numéricos conservativos para la resolución de ecuaciones dispersiva, tales como la Korteweg-de Vries y la ecuación de Schrödinger”.  

“Estos trabajos”, explicó el investigador, “se articulan con los trabajos y charla del ex-estudiante de doctorado Rodrigo Véjar Asem, quien obtuvo recientemente un cargo en la Universidad de la Serena y que ha seguido avanzando en temas relacionados con su tesis. Más precisamente, después del evento fui invitado por él a la Universidad de la Serena para continuar en trabajo de colaboración conjunta”.  

“Los resultados de este encuentro fueron interesantes. A pesar de ser un evento acotado en el número de participantes fue importante en lo personal pues es el primer evento presencial al al cual asisto después de dos años de pandemia y participación en eventos virtuales", destacó Sepúlveda. “Fuimos muy bien acogidos por el grupo de análisis numérico de la PUCV que por el momento es pequeño, pero se está fortaleciendo y consolidando como grupo de investigación”.  

Similar evaluación realizó el Dr. Véjar, quien expuso, “avances de uno de mis proyectos que a la vez es una continuación de mi tesis doctoral, que consiste en expandir el rango del tipo de simulaciones que se pueden hacer para modelar las soluciones de la Ecuación No Lineal de Schrödinger de Alto Orden”.   

“En concreto”, detalla, “las condiciones de frontera del problema se consideran 'periódicas’ en lugar de ‘constantes y nulas’. Ello permite replicar con mayor ‘realismo’ las soluciones tipo soliton viajero ahorrando una cantidad considerable de memoria, pues se elimina la necesidad de saber de antemano cuánto viajó dicho soliton, que es un dato que otros métodos necesitan saber de antemano (y eso no siempre se sabe)”.  

“Ésta es la primera reunión de este tipo a la que asisto de forma presencial después de la pandemia”, destacó, “hito que personalmente valoro, pues la cercanía física incentiva la formación de nuevas colaboraciones y facilita el intercambio de ideas”.  

Como resultado de colaboración del encuentro, el Dr. Véjar destaca la posterior visita de ¡seis! académicos del Instituto de Matemáticas de la PUCV a la Universidad de La Serena los días 2, 3 y 4 de noviembre; entre ellos Patrick Vega, quien dictó una charla para los académicos y estudiantes de la ULS. Uno de los objetivos de la visita fue iniciar conversaciones para que académicos y estudiantes de la ULS tengan oportunidades de trabajo académico con investigadores de la PUCV y viceversa. Esperamos, en particular, poder concretar una nueva visita a Valparaíso para 2023 y que las colaboraciones entre ambas instituciones se intensifiquen”.  

“Fue muy bonito”, agregó, “haberme encontrado con Patrick, excompañero del CI²MA, pero mejor aún es tener la posibilidad de trabajar en conjunto con él y sus colegas del IMA. También me encontré con algunos docentes del CI²MA como los profesores Rodolfo Araya y Mauricio Sepúlveda, éste último mi director de tesis de doctorado. El haber compartido con ellos después de mucho fue muy especial después de lo sucedido en pandemia, y espero se puedan dar situaciones similares con otros académicos del centro en el futuro”.  

Finalmente, el Dr. Vega explica que en su charla, dio cuenta de "un método de elementos finitos adaptativos y superconvergente para una clase de formulaciones mixtas asociadas a ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) que involucren términos de difusión. Dicho método combina las ideas de esquemas de postproceso superconvergentes, ampliamente usados en el métodos de Galerkin discontinuo hibridizable (HDG), y métodos de minimización residual en normas duales discretas, cuyas formulaciones incorporan representaciones residuales que permiten guiar refinamientos adaptativos de las mallas de elementos finitos". Estos resultados son producto de su proyecto Fondecyt de Postdoctorado (No. 3220858) "desarrollado en colaboración con los investigadores Ignacio Muga y Sergio Rojas, parte de IMA Numerics". 

"Esta fue la primera ocasión en la que me veo envuelto en la organización de una sesión temática", detalla. "La invitación que realizamos tuvo una muy buena acogida, contando con expositores de diversas casas de estudio, como la Universidad de La Serena, la Univerisdad Técnica Federico Santa María, y una fuerte presencia de universidades de la octava región: Universidad Católica de la Santísima Concepción, Universidad del Bío-Bío y, mi alma máter, la Universidad de Concepción. Este encuentro contó con diversas temáticas de investigación: métodos de elementos finitos, diferencias finitas y volúmenes finitos (en el contexto de la mecánica de fluidos, medios porosos, mecánica cuántica y leyes de conservación), métodos de Galerkin discontinuo (en electromagnetísmo) y métodos numéricos en control óptimo de EDPs, así como la combinación de redes neuronales y técnicas de machine learning con métodos de minimización residual para resolver EDPs (una de las líneas de investigación incipientes en nuestro instituto)". 

"Además del evidente beneficio del retorno a la presencialidad en eventos científicos", apuntó Vega, "este evento nos permitió tanto retomar colaboraciones entre individuos como generar nuevas instancias de colaboración interinstitucional, como la visita posterior visita que realizamos en conjunto los investigadores del grupo de investigación en Análisis Numérico (IMA Numerics) y los investigadores de la línea de Matemática Interdisciplinaria de nuestro instituto al Departmento de Matemática de la Universidad de La Serena".