A Posteriori Error Estimation and Adaptivity for the Virtual Element Method (VEM) es el título de la charla que este martes dictó en la Universidad del Bío-Bío el investigador italiano Andrea Cangiani, profesor asociado del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Leicester (Reino Unido) desde hace siete años. La actividad, reunió a investigadores del Centro de Investigación en Ingeniería Matemática, CI²MA , de la Universidad de Concepción, además de estudiantes de los programas de postgrado del área tanto de la UBB como de la UdeC, y se realizó en el marco del Seminario de Análisis Numérico y Modelación Matemática, evento que organizan los investigadores del CI²MA, Gabriel Gatica, Ricardo Oyarzúa y David Mora.

Precisamente este último investigador ha comenzado hace algún tiempo a colaborar con Cangiani en temas de investigación de interés mutuo, lo que posibilitó una visita del académico europeo con una duración de tres semanas, financiada por el proyecto Fondecyt que lidera Mora. “Estamos viendo la aplicabilidad del método de elementos virtuales a problemas no estándar, que no sea una aplicación directa de una simple transformación del método de elementos finitos sino de tratar de darle vida propia al VEM, buscando problemas de la ingeniería en que sea interesante aplicarlo, y ése es el enfoque que hemos querido dar a la estadía. Hemos avanzado y ha sido muy fructífera en el sentido de intercambiar ideas, ya que él nos ha contado el trabajo que él está haciendo y nosotros le presentamos las cosas que estamos haciendo en Concepción. Es importante que más investigadores extranjeros vean esto y se motiven a venir a colaborar, haciendo otras estadías con los integrantes de nuestro grupo de análisis numérico que, en términos de resultados, es muy comparable con centros de otros lugares del mundo”, explica Mora sobre la visita de Cangiani, la que se gestó en las conversaciones que ambos tuvieron en el contexto del MAFELAP 2016, aunque ya se habían contactado en congresos anteriores en Europa.

“David me invitó acá a la Universidad del Bío-Bío en Concepción, porque él como muchos otros aquí, son expertos en este método de elementos virtuales, que he presentado hoy y es mi principal tema de investigación. Y ocurre que Concepción es uno de los centros más importantes del mundo haciendo este tipo de investigación. No hemos colaborado con David en el pasado, pero empezamos ahora en este asunto de discutir para el trabajo futuro juntos”, explicó Cangiani. “Esta charla fue sobre una técnica relativamente reciente para las soluciones numéricas en las ecuaciones diferenciales parciales, que fue desarrollada por mí y mis coautores de la Universidad de Pavia en Italia en 2013, sobre un método bastante reciente para generalizar elementos finitos para que coincida con las medidas más generales tomadas de polígonos en dos dimensiones y poliedros en 3D, y también para resolver problemas más complicados con mayor continuidad. Es una nueva corriente de enfoques de los cuales ésta es probablemente una nueva tendencia de métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales parciales. Hoy he hablado acerca de usar esta flexibilidad de las subdivisiones del espacio a través de métodos adaptativos, adaptando el significado de los recursos computacionales adaptados a la complejidad local del problema, para que con la misma computadora se pueda resolver problemas más grandes o más difíciles”, dijo el expositor.

En su charla, el Profesor Cangiani presentó análisis de errores a posteriori para el Método de Elemento Virtual (VEM) aplicado a problemas elípticos y parabólicos de segundo orden. Los estimadores de error resultantes son de tipo residual y se aplican sobre mallas poligonales o poliédricas muy generales. Los estimadores son totalmente computables, ya que dependen sólo de las cantidades disponibles de la solución de Elemento Virtual, es decir, sus grados de libertad y la proyección polinomial de los elementos. Los estimadores de error se utilizan para derivar el refinamiento adaptativo de malla en una serie de problemas de prueba, incluyendo sistemas de reacción-difusión relevantes para modelos de competición cíclica de la biología matemática. La adaptación de malla es particularmente sencilla de implementar puesto que se permiten elementos con bordes o caras co-planares consecutivos y, por lo tanto, las mallas adaptadas localmente no requieren ninguna malla local de post-procesamiento. La extrema generalidad de las mallas permite abrir el camino a infinitas posibilidades sobre cómo uno puede refinar y derrefinarlas. “El diseño de algoritmos adaptativos capaces de explotar tal flexibilidad es, sin embargo, una tarea no trivial y algo que acabamos de comenzar a explorar”, enfatizó Cangiani sobre esta investigación en la que está trabajando con sus colegas Emmanuil Georgoulis, Tristan Pryer y Oliver Sutton.

Tangencialmente a su estadía en la UBB, Cangiani también visitó un par de días las dependencias del CI²MA para interactuar con Gabriel Gatica y su tesista doctoral, Mauricio Munar, quien lo visitará en Leicester durante el segundo semestre de 2017.