Polinomios ortogonales con pesos invariantes respecto a reflexiones es el nombre de la memoria de título que hace unos días Gonzalo Benavides defendió exitosamente para obtener el título profesional de Ingeniero Civil Matemático de la Universidad de Concepción (UdeC). “Estudiamos polinomios ortogonales en la bola unitaria de dimensión arbitraria asociados a una clase de pesos invariantes respecto a reflexiones. Dependiendo de los párametros que definen a los pesos, éstos pueden poseer singularidades en el casquete esférico y/o en los hiperplanos cartesianos”, explica el flamante ingeniero sobre los contenidos de la investigación. “Obtenemos propiedades de aproximación del respectivo proyector ortogonal L², caracterizamos familias de polinomios ortogonales tipo Sobolev asociadas al peso, obtenemos relaciones de conexión de una base bivariada específica, para luego desarrollar herramientas computacionales que permiten operar fácilmente con polinomios expandidos en términos de esta base. En nuestro trabajo, los llamados operadores de Dunkl juegan un rol fundamental, reemplazando en prácticamente todo sentido a las clásicas derivadas parciales”, señala Benavides sobre los resultados expuestos en su examen, que marcó un hito institucional, ya que, dada la situación de distanciamiento social a raíz de la emergencia sanitaria, fue el primero que se realiza a través de un sistema de teleconferencia, en la historia de esta carrera y muy probablemente, de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la UdeC. “Esperamos que este trabajo sirva como arquetipo de estudio de la teoría de aproximación asociada a pesos con singularidades interiores”, agrega.

Benavides contó con la dirección del académico del Centro de Investigación en Ingeniería Matemática (CI²MA), Leonardo Figueroa. “La investigación que desarrollamos está en la intersección de varios temas. Uno de ellos es la Teoría de Aproximación, uno de los soportes del Análisis Numérico (AN), que indica qué tan buena o mala es una aproximación específica de un problema, pero a diferencia de las técnicas de AN, no me dice cómo obtenerla. Son cálculos abstractos que no llevan a números concretos”, explica el también académico del Departamento de Ingeniería Matemática de la UdeC. “Otro tema que se cruza y está al servicio de AN, es el de los Polinomios Ortogonales, que son fáciles de evaluar, integrar y derivar y, por tanto, muy útiles para la manipulación computacional. Por otro lado, estudiamos espacios de Sobolev, que son espacios de funciones en los cuales, si consigo plantear en ellos mis problemas, tengo acceso a muchos teoremas que son muy útiles. Abordamos problemas de aproximación muy singulares, con muchos infinitos interactuando, por lo que requeríamos espacios de Sobolev muy especializados”, agrega Figueroa.

En la comisión evaluadora del examen de título, además de Figueroa, participaron su colega de la UdeC y también investigador del CI²MA Diego Paredes, y el académico de la Pontificia Universidad de Chile, PUC, Norbert Heuer. “Se trata de una tesis excepcional, con contribuciones originales tanto teóricas como computacionales en el área de Polinomios Ortogonales. Felicito a Gonzalo y su profesor guía por sus resultados originales en una disciplina tan clásica. Satisfacen con creces el nivel requerido para una tesis de pregrado”, destaca Heuer sobre la calidad de los contenidos presentados. En el mismo sentido, Figueroa señala que “a todos los evaluadores nos pareció una muy buena tesis, un trabajo sustancial, de genuino peso científico, y en que las distintas partes del trabajo se alimentan las unas a las otras, formando un todo”. El académico detalla que “Gonzalo es un estudiante excepcional, con un criterio matemático formado, que le permite tomar decisiones que los alumnos de pregrado no suelen tomar, en relación a qué hacer, cómo hacerlo y juzgar muy críticamente su propio trabajo. Trabajar con él fue más como trabajar con un colega que con un alumno”, afirma.

En cuanto a su futuro próximo, Benavides, quien ya cuenta con dos prepublicaciones (1, 2), afirma que “a corto plazo, pretendo seguir involucrado en estos temas, pero bajando un poco el ritmo y la presión. A largo plazo, pretendo realizar estudios de doctorado, preferentemente en el extranjero”. Finalmente, el ingeniero enfatiza “la excelente experiencia de trabajo que tuve con el profesor Leonardo Figueroa. Destaco su constante apoyo, preocupación, ayuda y paciencia que tuvo conmigo. Sinceramente siento que gran parte de este trabajo no me pertenece, pues sin el Profesor, me hubiera sido imposible soslayar gran parte de los problemas que surgieron en el camino”.