Tesis de Postgrado de Isaac Bermúdez

	Programa	Doctorado en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción
	Año de Ingreso	2021
	Año de Egreso	2025
	Título de la Tesis	Métodos de Galerkin discontinuos para problemas de interfaz: aplicación a problemas de desalinización del agua
Resumen de la Tesis: El objetivo de esta tesis es desarrollar discretizaciones de tipo Galerkin continuo y discontinuo aplicadas a problemas de interfaz modelados por sistemas de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). La complejidad de estos problemas radica en las incógnitas y sus términos fuente asociados, que surgen del acoplamiento en las interfaces, así como en la no linealidad de las ecuaciones. Primero, consideramos un sistema acoplado Navier--Stokes/transporte extcolor{black}{inspirado en} el modelamiento de un efecto de ósmosis inversa en procesos de desalinización de agua al considerar canales de alimentación y permeado acoplados a través de una membrana semipermeable. La formulación variacional consiste en un conjunto de ecuaciones donde las velocidades y concentraciones, junto con tensores y campos vectoriales introducidos como incógnitas auxiliares, y dos multiplicadores de Lagrange, son las incógnitas principales del sistema. Estos últimos se introducen para tratar con las trazas de funciones que no tienen suficiente regularidad para restringirse en la frontera. Además, las presiones pueden recuperarse posteriormente mediante una fórmula de postproceso. Como consecuencia, obtenemos una formulación mixta no lineal basada en espacios de Banach, que presenta una estructura de punto silla perturbada. Analizamos la solvencia continua y discreta de este problema linearizando el término de perturbación y aplicando el teorema clásico de punto fijo de Banach junto con el resultado de Banach--Nev{c}as--Babuv{s}ka. En cuanto al esquema discreto, las opciones factibles de subespacios de elementos finitos que pueden utilizarse incluyen espacios Raviart--Thomas para el tensor auxiliar y las incógnitas vectoriales, polinomios a trozos para las velocidades y las concentraciones, y el espacio polinómico continuo de orden inferior para las trazas, lo que da lugar a esquemas discretos estables. Se deriva una estimación óptima del error {it a priori} y se presentan resultados numéricos que ilustran tanto el rendimiento del esquema, confirmando las tasas teóricas de convergencia, como su aplicabilidad. Una vez establecidos los fundamentos teóricos para asegurar la solvencia del esquema variacional, los aprovechamos para abordar numéricamente diferentes enfoques muy relacionados con los procesos de ósmosis inversa considerando las ecuaciones acopladas de Brinkman--Forchheimer/transporte además de las ecuaciones de Navier--Stokes/transporte. Se cubren los casos de un solo canal y de canales acoplados de alimentación/permeado. Así, a través de diversas simulaciones numéricas y una variedad de configuraciones, ilustramos la capacidad del método para capturar con precisión el comportamiento del agua salina cuando pasa a través de canales de desalinización de ósmosis inversa basados en membranas. Por otro lado, presentamos y analizamos un método discontinuo de Galerkin hibridizable (HDG) para el acoplamiento de las ecuaciones de Stokes y Darcy, cuyos dominios se discretizan mediante dos triangulaciones independientes. Esto provoca no conformidad en la intersección de los subdominios o bien origina un espacio vacío (región no mallada) entre ellos. extcolor{black}{Para acoplar adecuadamente las dos discretizaciones diferentes y obtener un esquema de alto orden, proponemos condiciones de transmisión adecuadas basadas en la conservación de masa, el equilibrio de fuerzas normales y la ley de Beavers--Joseph--Saffman.} Dado que las mallas no coinciden necesariamente en la interfaz, utilizamos el Transfer Path Method (TPM) para unirlas. Establecemos el buen planteamiento del método y proporcionamos estimaciones de error en las que las influencias de la no conformidad y el gap están explícitas en las constantes. Por último, se muestran experimentos numéricos que ilustran el desempeño del método.
Director(es) de Tesis	Jessika Camaño, Manuel Solano
Fecha de Aprobación Proyecto de Tesis	2023, Enero 17
Fecha de Defensa de Tesis	2025, Enero 24
Seguimiento Profesional
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Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI) Isaac BERMUDEZ, Jessika CAMAñO, Ricardo OYARZúA, Manuel SOLANO: A conforming mixed finite element method for a coupled Navier–Stokes/transport system modelling reverse osmosis processes. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 433, Parte A, 1, Paper No. 117527, (2025).

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