Resumen de la Tesis:

En esta tesis, proponemos y analizamos un nuevo método de elementos finitos mixtos basado en pseudoesfuerzo para los problemas de Stokes y Navier–Stokes, que permite conservación exacta de masa y momentum. En ambos casos, usamos una descomposición de Helmholtz para la velocidad y derivamos una formulación variacional mixta de tres campos, donde el pseudoesfuerzo, la velocidad y una incógnita adicional que representa la función nula son las principales incógnitas del sistema. Para el problema de Stokes, demostramos que el método está bien planteado y obtenemos tasas de convergencia teóricas, incluyendo un resultado de superconvergencia para la aproximación del gradiente de la velocidad. Una ventaja clave del método propuesto es su eficiencia computacional, ya que resulta ligeramente menos costoso que el enfoque clásico basado en pseudoesfuerzo estudiado en [11, 26], y al mismo tiempo asegura la conservación de masa y cantidad de movimiento. Además, extendemos nuestro análisis al problema de Stokes con condiciones de borde mixtas. Para el problema de Navier–Stokes, a diferencia del caso de Stokes, es necesario utilizar una descomposición de Helmholtz para la velocidad, pero en espacios de Banach, lo cual solo es válido en dos dimensiones. El análisis de los problemas continuo y discreto se lleva a cabo utilizando el teorema de Banach–Nečas–Babuška y el teorema del punto fijo de Banach, bajo el supuesto de datos suficientemente pequeños. También derivamos la correspondiente estimación a priori del error y proporcionamos la tasa de convergencia teórica. Otras variables de interés, como la presión del fluido, la vorticidad y el gradiente de velocidad del fluido, pueden aproximarse fácilmente mediante un simple postprocesamiento de las soluciones del método de elementos finitos, con la misma tasa de convergencia. Para ambos problemas, presentamos varios ejemplos numéricos que validan los resultados teóricos, demostrando la efectividad y precisión del método propuesto, el cual ofrece varias ventajas, incluyendo facilidad de implementación y compatibilidad con paquetes de software existentes para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales.