Resumen de la Tesis:

El objetivo de esta tesis es proponer y analizar varios esquemas de elementos finitos para un problema de interacción fluido-membrana no isotérmico que surge en los procesos de destilación por membrana. El problema consiste en un sistema de Navier–Stokes/calor, comúnmente conocido como el sistema de Boussinesq, en la región de fluido libre, y un sistema acoplado Darcy-calor en la membrana. Es- tos sistemas están acoplados a través de términos de flotabilidad y un conjunto de condiciones de transmisión en la interfaz fluido-membrana, incluyendo la conser- vación de masa, balance de fuerzas normales, la ley de Beavers–Joseph–Saffman y la continuidad del flujo de calor y la temperatura del fluido. En primer lugar, proponemos y analizamos un método de elementos finitos conforme para el problema de interacción fluido-membrana no isotérmico. Con- sideramos la formulación variacional estándar de velocidad-presión-temperatura para el sistema de Boussinesq, junto con un esquema dual-mixto acoplado con una formulación primal para las ecuaciones de Darcy y calor en la región de la membrana. Este enfoque introduce la traza de la presión del medio poroso como un multiplicador de Lagrange adecuado. Probamos la existencia de una solución continua mediante una estrategia de punto fijo y bajo una suposición de datos su- ficientemente pequeños, mientras que para la prueba de unicidad se requiere una suposición restrictiva adicional sobre la solución de la temperatura en la membrana. Para el esquema de Galerkin asociado, empleamos elementos de Bernardi–Raugel y Raviart–Thomas para las velocidades, elementos constantes a trozos para las presiones y funciones lineales continuas a trozos para las temperaturas y el multi- plicador de Lagrange en una partición de la interfaz. Probamos que el problema esta bien puesto tanto para los esquemas continuo como discreto y establecemos las correspondiente estimación de error. Se presentan ejemplos numéricos para con- firmar las tasas de convergencia predichas y demostrar el rendimiento del método. En segundo lugar, desarrollamos un análisis de error a posteriori para el pro- blema de interacción fluido-membrana no isotérmico conforme. Para derivar el estimador de error a posteriori, utilizamos argumentos estándar basados en técni- cas de dualidad, descomposiciones de Helmholtz y propiedades de aproximación local de los operadores de interpolación de Raviart–Thomas y Clément. Además, se emplean desigualdades inversas, técnicas de localización usuales de funciones burbuja y resultados conocidos de trabajos previos para probar la eficiencia local del estimador de error a posteriori propuesto. Proponemos un algoritmo adapta- tivo basado en un estimador de error a posteriori confiable y eficiente. Por último proponemos y analizamos un método de elementos finitos que con- serva masa para el mismo problema de interacción fluido-membrana no isotérmico. Consideramos un esquema variacional de velocidad-presión-temperatura para el sistema de Boussinesq en la región de fluido libre, mientras que en la región de la membrana utilizamos una formulación dual-mixta para el sistema de Darcy acoplado con una ecuación primal para el modelo de temperatura. Esta formu- lación resulta en incógnitas dadas por la velocidad, la presión y la temperatura en ambos dominios. Para el esquema de Galerkin asociado, combinamos un esquema H(div)−conforme para las variables del fluido y una discretización conforme de Galerkin para la ecuación de calor. El esquema numérico resultante produce ve- locidades de divergencia libre y preserva la ley de conservación de la masa a nivel discreto. El análisis de los problemas continuos y discretos se lleva a cabo uti- lizando una estrategia de punto fijo bajo una suposición de datos suficientemente pequeños. Obtenemos estimaciones de error óptimos bajo una suposición adicional sobre los datos y presentamos resultados numéricos que ilustran el rendimiento del método.