Resumen de la Tesis:

El objetivo principal de esta tesis es desarrollar un análisis de error a priori y a posteriori de un método de elementos finitos completamente mixto para un problema de interacción sólido-fluido bidimensional. Además de lo anterior, se deduce un estimador de error a posteriori residual, confiable y eficiente, para el problema de elasticidad lineal en el plano con condiciones de frontera de tracción pura. Primero, se desarrolla un análisis de error a priori de un método de elementos finitos completamente mixto para un problema de interacción sólido-fluido bidimensional. El modelo se rige por las ecuaciones de la elastodinámica y la acústica en régimen de tiempo armónico, y las condiciones de transmisión están dadas por el equilibrio de fuerzas y la igualdad de los correspondientes desplazamientos normales. Se introduce una formulación dual mixta en ambos dominios, la cual tiene el esfuerzo y la rotación en el sólido, además del gradiente de presiones en el fluido, como las principales incógnitas. A su vez, ambas condiciones de transmisión son esenciales, las cuales se imponen débilmente por medio de multiplicadores de Lagrange. Luego, se muestra una descomposición apropiada del espacio al cual pertenecen el esfuerzo y el gradiente de presiones, y posteriormente se aplica la teoría de Babuska-Brezzi y la alternativa de Fredholm, para realizar el análisis de la formulación continua. Posteriormente, las incógnitas se aproximan por un esquema de Galerkin conforme definido en términos de los elementos de Raviart-Thomas de bajo orden en ambos dominios, y las funciones lineales a trozos continuas sobre las fronteras. Entonces, el análisis discreto se basa en una descomposición estable de los espacios de elementos finitos correspondientes y en un resultado clásico de métodos de proyección para operadores de Fredholm de índice cero. Por otro lado, a modo de análisis preliminar y también como un subproducto de esta tesis, se considera un problema de elasticidad lineal bidimensional con condiciones de frontera de Neumann no homogéneas, y se deduce un estimador de error a posteriori residual, confiable y eficiente para su formulación variacional dual mixta, en términos del esfuerzo, el desplazamiento y la rotación. La demostración de la confiabilidad hace uso de un problema auxiliar apropiado, la condición inf-sup continua y las propiedades de aproximación local de los operadores de interpolación de Clément y Raviart-Thomas. A su vez, las desigualdades de traza discreta e inversa, y la técnica de localización basada en funciones burbuja sobre triángulos y lados, son las principales herramientas para probar la eficiencia del estimador. Finalmente, se deduce un estimador de error a posteriori, basado en términos residuales, confiable y eficiente, para el problema de interacción estudiado en la primera parte. Las principales herramientas para probar la confiabilidad involucran una condición inf-sup global, las descomposiciones de Helmholtz continua y discreta en cada dominio, y las propiedades de aproximación local de los operadores de interpolación de Clément y Raviart-Thomas. Luego, se aplican las mismas técnicas mencionadas anteriormente para obtener la eficiencia. Finalmente, varios resultados numéricos confirman la confiabilidad y eficiencia del estimador, e ilustran el comportamiento del esquema adaptivo asociado.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Carolina DOMINGUEZ, Gabriel N. GATICA, Antonio MARQUEZ: A residual-based a posteriori error estimator for the plane linear elasticity problem with pure traction boundary conditions. Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 292, pp. 486-504, (2016).

Carolina DOMINGUEZ, Gabriel N. GATICA, Salim MEDDAHI: A posteriori error analysis of a fully-mixed finite element method for a two-dimensional fluid-solid interaction problem. Journal of Computational Mathematics, vol. 33, 6, pp. 606-641, (2015).

Carolina DOMINGUEZ, Gabriel N. GATICA, Salim MEDDAHI, Ricardo OYARZúA: A priori error analysis of a fully-mixed finite element method for a two-dimensional fluid-solid interaction problem. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 47, 2, pp. 471-506, (2013).