Resumen de la Tesis:

El objetivo de esta tesis es analizar, desarrollar e implementar diversas técnicas matemáticas y numéricas, basadas en métodos de elementos finitos mixtos y estrategias de punto fijo, con el propósito de establecer la solubilidad de problemas lineales y no lineales que surgen en el contexto de la mecánica de fluidos, más precisamente, problemas acoplados en medios porosos y flujos no isotérmicos. En primer lugar, derivamos un método de elementos finitos completamente mixto aumentado para el acoplamiento de fluidos con flujo en medio poroso. Los flujos son modelados por las ecuaciones de Navier-Stokes (con viscosidad no lineal) y las ecuaciones de Darcy lineal, respectivamente, y las condiciones de transmisión están dadas por la conservación de masa, el balance de fuerzas normales, y por la ley de Beavers-Joseph-Saffman. Aplicamos formulaciones dual-mixtas en ambos dominios, y la no linealidad en la región de Navier-Stokes es controlada introduciendo los tensores de pequeñas deformaciones y vorticidad como incógnitas auxiliares. A su vez, ya que las condiciones de transmisión son escenciales, ellas son impuestas débilmente, lo cual motiva la introducción de las trazas de la presión en el medio poroso y de la velocidad del fluido como multiplicadores de Lagrange. Además, ya que el término convectivo en el fluido fuerza a la velocidad a vivir en un espacio más pequeño que el usual, aumentamos la formulación variacional con adecuados términos de Galerkin. El resultante esquema aumentado es escrito equivalentemente como una ecuación de punto fijo, de modo que los teoremas de Schauder y Banach, combinados con resultados clásicos de operadores monótonos bijectivos, son aplicados para probar la unicidad de los problemas continuo y discreto. Además, obtuvimos un estimador de error a posteriori confiable y eficiente para el problema acoplado. Luego, abordamos el análisis de un método de elementos finitos mixto para el problema acoplado de Navier-Stokes/Darcy-Forchheimer con densidad y viscosidad constantes. Consideramos la formulación mixta estandard en el dominio Navier-Stokes y la dual-mixta en la región Darcy-Forchheimer, lo cual motiva la introducción de la traza de la presión en el medio poroso como un multiplicador de Lagrange. La solubilidad del problema se obtiene combinando una estrategia de punto fijo, resultados clásicos de operadores monótonos no lineales y los teoremas de Schauder y Banach. En particular, empleamos elementos de Bernardi-Raugel y Raviart-Thomas para las velocidades, y elementos constantes a trozos para las presiones y el multiplicador de Lagrange. Mostramos estabilidad, convergencia, y estimaciones de error a priori para el esquema de Galerkin asociado. Finalmente, cerramos esta tesis con el análisis de error a priori y a posteriori de un método de elementos finitos completamente mixto aumentado para el problema de Oldroyd-Stokes no isotérmico. Por conveniencia del análisis, el tensor de pequeñas deformaciones, la vorticidad, y el esfuerzo son introducidos como incógnitas adicionales (además de la parte polimérica del tensor de extra-esfuerzo, la velocidad, la presión, y la temperatura del fluido). Esto permite unir las viscosidades polimérica y solvente en una viscosidad adimensional, y eliminar del sistema la parte polimérica del tensor de extra-esfuerzo y la presión, las que, junto con la parte solvente del tensor de extra-esfuerzo, son fácilmente recuperadas a través de una fórmula de postproceso. En este sentido, una aproximación completamente mixta es aplicada, en la cual el vector de flujo de calor es incorporado como una incógnita adicional. Además, ya que el término convectivo en la ecuación de calor fuerza tanto a la velocidad como a la temperatura a vivir en un espacio más pequeño que el usual, aumentamos la formulación variacional usando adecuados términos de Galerkin. Demostramos solubilidad de los problemas continuo y discreto, con su estimación a priori correspondiente. Con respecto al análisis de error a posteriori, se derivan dos estimadores confiables y eficientes de tipo residual. Para todos los problemas descritos anteriormente se proporcionan varios experimentos numéricos que ilustran el buen desempeño de los métodos propuestos, y que confirman los resultados teóricos de convergencia así como de confiabilidad y eficiencia de los estimadores de error a posteriori respectivos.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Sergio CAUCAO, Marco DISCACCIATI, Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZúA: A conforming mixed finite element method for the Navier-Stokes/Darcy-Forchheimer coupled problem. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 54, 5, pp. 1689-1723, (2020).

Sergio CAUCAO, Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZúA: A posteriori error analysis of an augmented fully-mixed formulation for the non-isothermal Oldroyd-Stokes problem. Numerical Methods for Partial Differential Equations, vol. 35, 1, pp. 295-324, (2019).

Sergio CAUCAO, Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZúA: Analysis of an augmented fully-mixed formulation for the coupling of the Stokes and heat equations. Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 52, 5, pp. 1947-1980, (2018).

Sergio CAUCAO, Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZúA, Ivana SEBESTOVA: A fully-mixed finite element method for the Navier-Stokes/Darcy coupled problem with nonlinear viscosity. Journal of Numerical Mathematics, vol. 25, 2, pp. 55-88, (2017).

Sergio CAUCAO, Gabriel N. GATICA, Ricardo OYARZúA: A posteriori error analysis of a fully-mixed formulation for the Navier-Stokes/Darcy coupled problem with nonlinear viscosity. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 315, pp. 943-971, (2017).