Resumen de la Tesis:

El objetivo de esta tesis es desarrollar y analizar herramientas numéricas eficientes para resolver problemas acoplados que involucran estructuras elásticas y fluidos acústicos disipativos. Con este fin, en particular consideraremos problemas de vibraciones para una viga de Timoshenko empotrada con sección transversal variable, el problema espectral para las ecuaciones de elasticidad lineal, un problema de interacción entre dos fluidos disipativos heterogéneos y un problema de elastoacústica disipativa. Para aproximar las soluciones de los problemas mencionados, utilizamos métodos numéricos basados en el clásico método de elementos finitos (FEM) y el método de Galerkin discontinuo (DG). En la primera parte de este trabajo estudiaremos un método de elementos finitos de bajo orden para aproximar las frecuencias más bajas del problema de vibraciones de una viga modelada con las ecuaciones de Timoshenko. La formulación que estudiaremos incorpora el momento flector como incógnita adicional. Demostraremos orden óptimo de convergencia para el desplazamiento, la rotación, el momento flector y el esfuerzo de corte de los modos de vibración, como también orden doble de convergencia para las frecuencias de vibración. Las constantes de las estimaciones demostradas son independientes del parámetro de espesor de la viga, por lo que el modelo resulta libre de bloqueo numérico. Se mostrará que el desplazamiento y la rotación pueden ser eliminados, para obtener un problema matricial generalizado de valores propios con menor costo computacional, similar al de las formulaciones clásicas. Presentamos experimentos numéricos que confirman los resultados teóricos obtenidos. En la segunda parte de esta tesis, abordamos el problema de interacción de dos fluidos heterogéneos viscosos. La viscocidad produce el efecto de disipación, el cual, nos llevará a estudiar un problema de valores propios cuadrático. En esta parte proponemos un riguroso análisis matemático del problema espectral para establecer una caracterización espectral del operador solución asociado al problema de valores propios, mostrando que el operador solución admite un espectro esencial. Para la aproximación numérica, implementaremos un método de elementos finitos basado en los elementos de Raviart-Thomas de primer orden, que usaremos para discretizar el problema todo el dominio. Notamos que la presencia de viscosidad en nuestra formulación conlleva a nuevas dificultades, debido a que el operador solución resulta ser no regularizante y por lo tanto no compacto. Por este motivo, y para demostrar las propiedades de aproximación espectral, debemos emplear nuevas técnicas. Mostraremos que nuestro método es convergente, que no introduce modos espurios, y que las correspondientes autofunciones y valores propios convergen con el orden teóricamente esperado. Corroboraremos nuestro análisis con ejemplos numéricos. En la tercera parte de este trabajo, consideramos una formulación dual mixta para el problema de elasticidad lineal, la cual está escrita en términos del tensor de esfuerzo y del tensor antisimétrico de rotaciones. La idea central de esta tercera parte es definir una discretización usando un método de Galerkin discontinuo (DG), para aproximar con polinomios de grado $k$ el tensor de esfuerzos, y polinomios de grado $k-1$ el tensor de rotaciones. Adaptamos la teoría de operadores no compactos para estas nuevas normas dependientes de la malla, demostrando que las estimaciones son independientes de la malla y que el método numérico no introduce frecuencias de vibración espurias. Se realizarán diversos experimentos numéricos con el fin de estudiar el comportamiento del método en relación al parámetro de estabilización, el tamaño de las mallas y el grado polinomial. Finalmente, presentamos un problema de elastoacústica donde consideramos un fluido viscoso contenido en una cavidad rígida. La presencia de viscosidad nos lleva en este caso particular a un problema de elastoacústica disipativa. El fluido será modelado con las ecuaciones de Stokes, considerando el término disipativo y el sólido con las ecuaciones de elasticidad lineal. Se presentará una formulación continua escrita en términos de los desplazamientos del fluido y del sólido para el problema de valores propios, el cual resulta ser cuadrático debido a la presencia de disipación en el fluido. Se estudiará el buen planetamiento del problema continuo, y una caracterización espectral del operador solución asociado. Se introducirá un método de elementos finitos no conforme, donde el dominio del sólido es discretizado con elementos para $ H^1$ y el fluido con elementos para $ H(div)$. Demostraremos que el método es convergente y no introduce modos espurios, utilizando las herramientas empleadas en la segunda parte de esta tesis. Presentaremos algunos experimentos numéricos que corroboran los resultados teóricos obtenidos.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Felipe LEPE, Salim MEDDAHI, David MORA, Rodolfo RODRíGUEZ: Mixed discontinuous Galerkin approximation of the elasticity eigenproblem. Numerische Mathematik, vol. 142, 3, pp. 749-786, (2019).

Felipe LEPE, Salim MEDDAHI, David MORA, Rodolfo RODRíGUEZ: Acoustic vibration problem for dissipative fluids. Mathematics of Computation, vol. 88, 315, pp. 45-71, (2019).

Felipe LEPE, David MORA, Rodolfo RODRíGUEZ: Finite element analysis of a bending moment formulation for the vibration problem of a non-homogeneous Timoshenko beam. Journal of Scientific Computing, vol. 66, 2, pp. 825-848, (2016)