Resumen de la Tesis:

El objetivo principal de esta tesis es extender al alto orden algunas técnicas de construcción de bases de los espacios de elementos finitos de Raviart–Thomas con divergencia nula, las cuales son conocidas en el caso de grado uno. Conocer una base del subespacio de funciones con divergencia nula es una alternativa conveniente a la técnica usual que usa multiplicadores de Lagrange. La desventaja de usar multiplicadores de Lagrange es que se introduce una nueva incógnita que hay que discretizar dando lugar a un sistema linear más grande con una matriz que no es simétrica definida positiva incluso cuando que la forma bilineal asociada a la formulación variacional del problema en el espacio con restricciones es simétrica y coerciva. En primer lugar proponemos y analizamos un algoritmo eficiente para la construcción de una base del espacio de elementos finitos de Raviart–Thomas con divergencia nula basado en técnicas de grafo. El punto clave es notar que con grados de libertad usuales para los campos en el espacio de los elementos finitos de Raviart–Thomas de grado $r+1$ y también para los elementos del espacio de las funciones polinomiales a trozo de grado $r ge 0$, la matriz asociada al operador divergencia es la matriz de incidencia de un grafo particular orientado, conexo y sin auto-bucles. Por medio de la elección de un árbol generador de este grafo, es posible identificar una submatriz cuadrada invertible de la matriz de divergencia y con esta matriz invertible es fácil calcular los momentos de un campo en el espacio de los elementos finitos de Raviart–Thomas con divergencia asignada. Este enfoque extiende a los elementos finitos de alto orden el método introducido por Alotto y Perugia en [10] para los elementos finitos de grado uno, por otra parte, los métodos que involucran al árbol generador de un grafo conexo se remontan a Kirchhoff. El enfoque analizado es utilizado para construir una base del espacio de los elementos finitos de Raviart–Thomas a divergencia nula. Los experimentos numéricos muestran que la eficiencia del algoritmo no depende de la topología del dominio ni tampoco del grado polinomial $r$. A continuación extendemos al caso del alto orden un segundo enfoque basado en la construcción de una base de la imagen del operador rotacional. Si la frontera del dominio es conexa, los momentos de los elementos de una base de los Raviart–Thomas con divergencia nula de alto orden, ($RT_{r+1}^0$) son calculados seleccionando primero, en un modo apropiado, algunos elementos de una base cardinal (dual) de los Nédélec de alto orden ($N_{r+1}$), y luego son calculados sus rotacionales. El método utiliza el grafo asociado al operador gradiente y un árbol generador de este grafo para seleccionar los elementos de la base. Finalmente aplicamos un método de elementos finitos con divergencia nula para resolver un problema espectral de interacción fluido-estructura en el caso tridimensional. Las incóg- nitas principales de la formulación resultante son el desplazamiento del fluido y del sólido, y la presión del fluido en la interfaz que separa el fluido y el sólido. El problema mixto de valores propios resultante es aproximado por medio de la utilización de bases apropiadas de los elementos de Raviart–Thomas con divergencia nula de orden más bajo para el fluido, elementos lineales a trozo para el sólido y constantes a trozo para la presión. Se demues- tra que los valores propios y las funciones propias son aproximados de manera eficiente y son presentados algunos resultados numéricos con el objetivo de evaluar la eficiencia del método, y también mostrar que este método elimina los modos espurios.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Ana ALONSO-RODRIGUEZ, Jessika CAMAñO, Eduardo DE LOS SANTOS, Rodolfo RODRíGUEZ: Divergence-free finite elements for the numerical solution of a hydroelastic vibration problem. Numerical Methods for Partial Differential Equations, vol. 39, pp. 163-186, (2023).

Ana ALONSO-RODRIGUEZ, Jessika CAMAñO, Eduardo DE LOS SANTOS, Francesca RAPETTI: A graph approach for the construction of high order divergence-free Raviart-Thomas finite elements. Calcolo, vol. 55, 4, article:42, (2018).