Resumen de la Tesis:

El objetivo principal de esta tesis doctoral es proponer, analizar, desarrollar, implementar y aplicar varios métodos de elementos virtuales (VEM) conformes en H² sobre mallas poligonales generales, para resolver diversos problemas de cuarto orden que surgen en mecánica de sólidos, con el propósito de establecer una contribución original en la teorı́a de los elementos virtuales. En primer lugar, presentamos dos problemas de autovalores para estructuras delgadas, a saber, el problema de vibración y el problema de pandeo de placas modeladas por las ecuaciones de Kirchhoff. En relación con el problema de vibración de placas delgadas, el estudio se centra en desarrollar un método de elementos virtuales C¹ para la aproximación numérica de las frecuencias de vibración y los modos de vibración de las placas de Kirchhoff. Se propone una formulación variacional basada únicamente en el desplazamiento transversal de la placa. Se introduce una discretización conforme de H² por medio del VEM, el cual es simple en términos de grados de libertad e implementación computacional. Bajo supuestos estándar en el dominio computacional, se establece que el esquema resultante proporciona una aproximación correcta del espectro. Además, se obtienen óptimas estimaciones del error para las funciones propias y un orden doble para los valores propios. Por otro lado, como segundo trabajo de esta tesis, se desarrolla un método de elemento virtual de alto orden en mallas poligonales, para resolver el problema de pandeo de placas gobernado por las ecuaciones de Kirchhoff. Se introduce una discretización de elemento virtual conforme C¹ de orden arbitraria ≥ 2. Además, se aplica la teorı́a espectral estándar de operadores compactos para demostrar que el esquema resultante proporciona una aproximación correcta del espectro. Se derivan estimaciones del error de orden óptimas para los modos de pandeo y un orden doble para los coeficientes de pandeo. Posteriormente, introducimos y analizamos un método de elementos virtuales C¹ para resolver un problema no lineal de placas modeladas por las ecuaciones de von Kármán. Se propone una formulación variacional continua en H² asociada a este problema. Luego, se introduce una discretización conforme por medio de elementos virtuales. El método tiene las ventajas de considerar mallas poligonales generales y es simple en términos de implementación computacional. Probamos que el problema discreto está bien planteado para h (letra generalmente elegida para denotar el parámetro de discretización) lo suficientemente pequeño. Además, se obtienen estimaciones de error óptimas. Finalmente, proponemos y analizamos un método de elementos virtuales, para resolver numéricamente un problema de valores propios no lineal y no autoadjunto, conocido como el problema de valores propios de transmisión. El problema se linealiza al introducir una nueva incógnita (que pertenece a H_0^1 ) en el sistema de ecuaciones. Luego, se define una formulación variacional en H_0^2 × H_0^1 y se caracteriza el espectro del problema a través de la definición de un operador solución, el cual resulta ser no autoadjunto y compacto, con respecto a la seminorma usual de H_0^2 × H_0^1. Se propone una discretización conforme de C¹×C⁰ por medio del VEM. Se emplea la teorı́a espectral clásica para operadores compactos no autoadjuntos con el objetivo de analizar la aproximación espectral. Se deriva el orden óptimo de convergencia para los valores propios y las funciones propias. Para todos los problemas descritos anteriormente, se presentan varios experimentos numéricos que ilustran el buen desempeño de los métodos propuestos y que confirman el análisis teórico.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

David MORA, Iván VELáSQUEZ: Virtual elements for the transmission eigenvalue problem on polytopal meshes. SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 43, 4, pp. A2425-A2447, (2021).

Carlo LOVADINA, David MORA, Iván VELáSQUEZ: A virtual element method for the von Kármán equations. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 55, 2, pp. 533-560, (2021).

David MORA, Iván VELáSQUEZ: Virtual element for the buckling problem of Kirchhoff-Love plates. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 360, Art. Num. 112687, (2020).

David MORA, Iván VELáSQUEZ: A virtual element method for the transmission eigenvalue problem. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, vol. 28, 14, pp. 2803-2831, (2018).

David MORA, Gonzalo RIVERA, Iván VELáSQUEZ: A virtual element method for the vibration problem of Kirchhoff plates. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 52, 4, pp. 1437-1456, (2018).