Resumen de la Tesis:

Esta tesis trata del análisis matemático y numérico de dos modelos que describen el comportamiento de múltiples especies a partir de ecuaciones diferenciales parciales. En particular, se considera un sistema de leyes de conservación con función de flujo discontinuo y un sistema de reacción-difusión acoplado a ecuaciones elípticas, modelando problemas de flujo de tránsito que distinguen entre flujo libre y congestionado, y la dinámica de poblaciones que interactúan con quimiotaxis. Los contenidos principales de la tesis se estructuran como sigue: En el Capítulo 1, Construimos un esquema numérico, que es similar a uno propuesto por [J.D. Towers, A splitting algorithm for LWR traffic models with flux discontinuities in the unknown, J. Comput. Phys., 421 (2020), article 109722], descomponiendo la función de velocidad discontinua en una función continua de Lipschitz más una función de Heaviside y disear un esquema el cuál es dividido en las dos partes en las que se descompuso la función de velocidad. La parte del esquema relacionada con la función de flujo discontinuo se maneja mediante un paso semi-implícito que, sin embargo, no involucra la solución de sistemas de ecuaciones lineales o no lineales. Se prueba que todo el esquema converge a una solución débil en el caso escalar. El esquema puede extenderse de manera sencilla al modelo LWR multiclase (MCLWR), que se define por un sistema hiperbólico de N leyes de conservación para N clases de conductores que se distinguen por sus velocidades. Se muestra que el esquema multiclase satisface un principio de región invariante, es decir, todas las densidades son no negativas y su suma no excede un valor máximo. En los casos escalar y multiclase, no se involucra la regularización de flujo ni el resolvedor de Riemann, y la condición CFL no es ms restrictiva que para un esquema explícito para la parte continua del flujo. Se presentan ejemplos numéricos para los casos escalares y multiclase. En el Capítulo 2 formulamos un sistema de reacción-difusión para describir tres especies que interactúan dentro de la estructura de la cadena alimenticia de Hastings-Powell (HP) con quimiotaxis producida por tres sustancias químicas. Construimos un esquema de volumenes finitos (FV) para este sistema, y en combinación con la no negatividad y las estimaciones a priori para la solución discreta, se demuestra la existencia de una solución discreta del FV esquema. Se muestra que el esquema converge a la correspondiente solución débil del modelo. La prueba de convergencia utiliza dos ingredientes de interés para varias aplicaciones, a saber, las desigualdades de inclusión de Sobolev discretas con condiciones de contorno generales y un argumento de compacidad espacio-tiempo en L1. Finalmente, los ejemplos numéricos ilustran el modelo y el comportamiento del FV esquema. En el Capítulo 3 consideramos un modelo matemático para la evolución espacio temporal de tres especies biológicas en un modelo de cadena alimenticia que consta de dos presas competitivas entre sí y un depredador con competencia intra-específica. Las especies se mueven hacia o en contra de concentraciones más altas de una sustancia química la cuál es producida por ellas mismas. El sistema de reacción-difusión resultante consta de tres ecuaciones parabólicas junto de las tres ecuaciones elípticas que describen el comportamiento de las sustancias químicas. Primero se prueba la existencia local de soluciones no negativas, luego proporcionamos estimaciones uniformes en los espacios de Lebesgue que conducen a la acotación y al buen planteamiento global del sistema. Finalmente reportamos y discutimos algunas simulaciones numéricas.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Raimund BüRGER, Christophe CHALONS, Rafael ORDOñEZ, Luis M. VILLADA: A multiclass Lighthill-Whitham-Richards traffic model with a discontinuous velocity function. Networks and Heterogeneous Media, vol. 16, 2, pp. 187-219, (2021).

Raimund BüRGER, Rafael ORDOñEZ, Mauricio SEPúLVEDA, Luis M. VILLADA: Numerical analysis of a three-species chemotaxis model. Computers & Mathematics with Applications, vol. 80, pp. 183-203, (2020).