Resumen de la Tesis:

Este trabajo de tesis tiene como objetivo el análisis numérico y matemático de nuevos esquemas para resolver ecuaciones diferenciales parciales que modelan problemas de fluidos. Principalmente, nos enfocamos en desarrollar esquemas para problemas de flujo incompresible y fluido en medio poroso, y comparar métodos de reconstrucción de la presión, fuertemente usados para resolver problemas matemáticos provenientes de modelamiento cardiovascular y hemodinámica. Las ecuaciones involucradas en cada capitulo son analizadas usando técnicas clásicas de análisis funcional y método de elementos finitos. Además, en cada uno de ellos se muestran resultados numéricos que respaldan los resultados teóricos obtenidos. Comenzamos mostrando el análisis matemático y numérico del Multiscale Hybrid Mixed (MHM) Method applicado a la ecuación de Oseen, donde un multiplicador de Lagrange es introducido como una nueva incógnita. En este capítulo se persigue establecer algunas bases que nos permitan aplicar el MHM a las ecuaciones de Navier-Stokes no estacionarias. Específicamente, proponemos y analizamos un estimador de error a posteriori residual multiescala. Una vez introducido el método, es probada la solubilidad de los problemas locales por medio de la teoría de Babuu ska -Brezzi, mientras que un método estabilizado es usado para resolver los problemas en el segundo nivel. Lo que sigue a lo anterior es presentar el estimador multiescala de dos niveles basado en estimación de error residual, donde probamos su eficiencia y confiabilidad. En lo que sigue, abordamos una ecuación de Darcy no lineal, donde la viscosidad es exponencialmente dependiente de la presión, y usando un cambio de variable transformamos un problema no lineal en uno lineal. Introducimos un nuevo método estabilizado donde los parámetros de estabilización del esquema definido no dependen de la malla. Con el fin de probar la convergencia del método estabilizado, probamos que el esquema está bien puesto y hacemos análisis a priori. Adicionalmente, un procedimiento adaptativo es considerado, donde se prueba la eficiencia y confiabilidad del estimador propuesto. Finalmente, dedicamos un capítulo para analizar dos métodos de reconstrucción de la presión, fuertemente usados para estimar la presión de la sangre cuando que el campo de velocidad es obtenido por medio de Imagenes de Resonancia Magnética (MRI). Existen varios métodos propuestos en la literatura pero en este trabajo de tesis consideramos los conocidos Pressure Poisson Estimator (PPE) y Stokes Estimator (STE), basados en las ecuaciones de Navier-Stokes. Tanto en PPE como en STE consideramos el cambo de velocidad como información conocida. Mientras en PPE la ecuación de Poisson es deducida aplicando el operador de divergencia en la NSE, el STE es obtenido introduciendo un campo de velocidad de divergencia libre como variable auxiliar, convirtiendo la NSE en un ecuación de Stokes. Proponemos una estrategia para realizar análisis de error a priori del campo de presión reconstruída basado en la división de la solución en dos componentes y aplicamos técnicas de aproximación tales como Galerkin continuo y Pressure Stabilized Petrov Galerkin (PSPG). El objetivo es comparar el desempeño entre estos métodos y concluir cuál es más cosoto efectivo.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Rodolfo ARAYA, Cristóbal BERTOGLIO, Cristian CáRCAMO, Sergio URIBE: Convergence analysis of pressure reconstruction methods from discrete velocities. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 57, 3, pp. 1839-1861, (2023).

Rodolfo ARAYA, Cristian CáRCAMO, Abner POZA: An adaptive stabilized finite element method for the Darcy’s equations with pressure dependent viscosities. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 387, Paper no. 114100, (2021).

Rodolfo ARAYA, Cristian CáRCAMO, Abner POZA, Frederic VALENTIN: An adaptative multiscale hybrid-mixed method for the Oseen equations. Advances in Computational Mathematics, vol. 47, no. 1, Paper no. 15, (2021).