Resumen de la Tesis:

Esta tesis tiene como objetivo el análisis y la aproximación numérica, mediante el método de elementos finitos, de ecuaciones diferenciales parciales que surgen en el contexto de la interacción fluido-estructura (el movimiento de una estructura deformable en contacto con un fluido interno o circundante). En particular, estamos interesados en estudiar soluciones con simetría axial del problema elastoacústico, el cual se modela mediante las ecuaciones de acústica y elasticidad para el fluido y la estructura, respectivamente, acopladas en la interfaz mediante ecuaciones de interacción que provienen del principio de acción-reacción y de una condición de deslizamiento libre. Primero, estudiamos la aproximación numérica de la formulación en desplazamiento del problema de valores propios de la acústica en el caso axisimétrico. Mostramos que cuando se utilizan elementos de Raviart-Thomas de orden inferior para discretizar el problema, aparecen valores propios espurios. Proponemos una formulación débil alternativa del problema espectral que nos permite evitar este inconveniente. Se propone y analiza una discretización basada en los mismos elementos finitos. Se demuestra la convergencia espectral con orden cuasi-óptimo, así como la ausencia de modos espurios. A continuación, introducimos dos formulaciones mixtas para evitar los modos espurios en el problema acústico axisimétrico. Se propone y analiza una discretización basada en el método mixto de Raviart-Thomas. Proporcionamos un resultado de convergencia en condiciones bastante generales y establecemos la ausencia de modos espurios. Además, demostramos estimaciones del error de orden cuasi-óptimas bajo supuestos adicionales de regularidad. Posteriormente, complementamos el estudio acoplando el problema anterior con una estructura elástica y obteniendo así un problema de vibraciones elastoacústicas axisimétrico. Proponemos una formulación en desplazamiento para el sólido y presión para el fluido, la cual no genera modos espurios. Para su aproximación nos basamos en elementos finitos Lagrangianos, para los que demostramos un resultado de convergencia bajo condiciones generales. Finalmente, presentamos una formulación mixta de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden en el tiempo que modela las vibraciones.