Resumen de la Tesis:

El objetivo principal de esta tesis doctoral es diseñar, analizar e implementar nuevos métodos de elementos virtuales conformes y no conformes para resolver problemas que surgen en la mecánica de fluidos y la circulación oceánica impulsada por el viento a gran escala, formulados en términos de la función de corriente del campo de velocidades. El presente estudio incluye análisis matemático para los problemas continuos y discretos, un nuevo y riguroso análisis de convergencia en varias normas importantes. Además, se incluye implementación numérica para validar los resultados teóricos e ilustrar el comportamiento de los esquemas discretos. En primer lugar, proponemos y analizamos un esquema $C^1$-conforme de elementos virtuales de bajo orden, para resolver las ecuaciones cuasi-geostróficas estacionarias del océano, formuladas en términos de la variable de función de corriente. Bajo el supuesto de datos pequeños y mediante el uso de una estrategia de punto fijo, establecemos el bien planteamiento del problema discreto. Además, bajo suposiciones estándar sobre el dominio computacional proporcionamos estimaciones de error en norma $H^2$ para la función de corriente. Posteriormente, escribimos una formulación débil para el problema lineal de Oseen en términos de la función de corriente en dominios poligonales simplemente conexos. Luego, proponemos y analizamos una discretización $C^1$ conforme de orden arbitrario $kgeq 2$. Establecemos que los esquemas resultantes convergen con un orden óptimo en norma $H^2$. Además, calculamos otras variables de inter'es, como la velocidad, la vorticidad y la presión. Adicionalmente, proponemos aproximaciones $C^1$ de elementos virtuales de orden superior $kgeq 2$ para las ecuaciones de Navier--Stokes formuladas en términos de la función de corriente. Se desarrolla un novedoso análisis para probar estimaciones de error óptimas en las normas $H^{2}$, $H^{1}$ y $L^{2}$, bajo condiciones de emph{regularidad mínima} de la función de corriente débil. Además, extendemos estos esquemas al sistema con condiciones de contorno no estándar sobre la presión. Se proponen algoritmos para calcular los campos de velocidad, presión y vorticidad como un postproceso de la función de corriente discreta y se han proporcionado cotas de error óptimos para estas variables postprocesadas. Además, desarrollamos un esquema de elementos virtual completamente discreto para el sistema Boussinesq dependiente del tiempo formulado en términos de las incógnitas función de corriente y temperatura. Empleamos los enfoques $C^1$ y $C^0$ de elementos virtuales conformes para discretizar las variables espaciales y para las derivadas temporales utilizamos un método implícito clásico de Euler. Proporcionamos la buena postura y la estabilidad incondicional del esquema totalmente discreto. Además, derivamos estimaciones de error en las normas $L^2(H^2) cap L^{infty}(H^1)$ y $L^2(H^1) cap L^{infty}(L^2)$ para las variables función de corriente y temperatura, respectivamente. Finalmente, diseñamos un método de elementos virtuales tipo Morley para resolver el problema de Navier--Stokes en la formulación de la función de corriente. Se desarrolla un riguroso análisis de estabilidad y de error empleando un nuevo operador enriquecido. Más precisamente, utilizando dicho operador, proporcionamos novedosas inclusiones de Sobolev discretas, que permiten establecer el buen planteamiento de la formulación discreta y obtener cotas de error óptimas en las seminormas $H^2$, $H^1$ y $L^2$, bajo condiciones de regularidad mínima sobre la solución débil. Algunas variables importantes como la velocidad, la presión y la vorticidad se obtienen mediante novedosos algoritmos de posprocesamiento de la función de corriente discreta. Para todas las situaciones descritas anteriormente, se reportan varios experimentos numéricos en diferentes familias de mallas poligonales, que ilustran el comportamiento de los esquemas virtuales y respaldan nuestros hallazgos teóricos.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Dibyendu ADAK, David MORA, Alberth SILGADO: The Morley-type virtual element method for the Navier-Stokes equations in stream-function form. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 419, Paper No. 116573, (2024).

David MORA, Alberth SILGADO: A C1 virtual element method for the stationary quasi-geostrophic equations of the ocean. Computers & Mathematics with Applications, vol. 116, pp. 212–228, (2022).