Resumen de la Tesis:

En esta tesis introducimos y analizamos aplicaciones adicionales del Método de Elementos Virtuales (VEM), el cual puede ser interpretado como una evolución del método de Diferencias Finitas Miméticas, técnica que ofrece espacios de aproximación de alto orden sobre mallas computacionales que consisten de elementos poligonales/poliedrales. Enfocamos nuestro análisis en discretizaciones mixtas (mixed-VEM) de algunos problemas no lineales en mecánica de fluidos. Además, estamos interesados en desarrollar las herramientas necesarias para implementar algoritmos adaptativos que puedan aprovechar la flexibilidad que ofrecen estas mallas generales. En primer lugar, proponemos y analizamos un mixed-VEM para una formulación dual-mixta de un modelo no lineal de Brinkman para flujo en medios porosos. Introducimos las características principales del esquema discreto asociado, en el cual empleamos un espacio de polinomios a trozos y un espacio virtual para aproximar el gradiente de velocidad y el pseudoesfuerzo, respectivamente. La velocidad y la presión se calculan mediante fórmulas de postprocesamiento. A su vez, el operador no lineal discreto asociado se define en términos del proyector L^2-ortogonal sobre un espacio polinomial adecuado, lo que permite el cálculo explícito de los términos que involucran los tensores desviadores que aparecen en la formulación continua. Se establece que el esquema discreto está bien puesto y se derivan estimaciones de error a priori asociadas a la solución virtual, así como para la proyección computable de ésta. Se presentan varios resultados numéricos que ilustran el buen desempeño del método y confirman las tasas teóricas de convergencia. Luego, un mixed-VEM para una formulación pseudoesfuerzo-velocidad de las ecuaciones de Navier-Stokes se propone y se analiza. Describimos los principales ingredientes que se requieren para nuestro análisis discreto, el cual hace uso de proyectores comúnmente usados en este contexto, incluyendo, como principal novedad, el uso simultáneo de subespacios de elementos virtuales para H^1 y H(div), con el fin de aproximar la velocidad y el pseudoesfuerzo, respectivamente. La presión se calcula mediante una fórmula de postprocesamiento. Luego, se definen las formas bilineales y trilineales discretas involucradas, el esquema virtual asociado, y el análisis de solubilidad correspondiente es realizado usando argumentos de punto fijo. Además, estimaciones tipo Strang son aplicadas para derivar las estimaciones de error a priori tanto para las dos componentes de la solución virtual, como para las proyecciones computables de éstas y la presión postprocesada. Mas aún, se presentan algunos ejemplos numéricos que confirman las cotas de error teóricas e ilustran el rendimiento del esquema discreto. Adicionalmente, extendemos nuestro estudio y proponemos un mixed-VEM para el problema de Boussinesq. Las principales incógnitas están dadas por el tensor de pseudoesfuerzo, la velocidad y la temperatura, y al igual que antes la presión es calculada por postproceso. El problema discreto se plantea empleando un enfoque mixed-VEM para el esquema asociado con las ecuaciones del fluido, de tal manera que el pseudoesfuerzo y la velocidad se aproximan en subespacios de elementos virtuales de H(div) y H^1, respectivamente, mientras que un VEM se propone para aproximar la temperatura en un subespacio virtual de H^1. Además, se aplican estimaciones tipo Strang para derivar las estimaciones de error a priori para las componentes de la solución virtual, así como para las proyecciones computables de éstas y la presión postprocesada. Finalmente, presentamos un análisis de error a posteriori para el mixed-VEM aplicado a ecuaciones elípticas de segundo orden en forma de divergencia y con condiciones de frontera mixtas. El estimador de error resultante es de tipo residual. Solo depende de cantidades directamente disponibles de la solución VEM y aplica para mallas poligonales muy generales. Propiedades de operadores de interpolación, descomposiciones de Helmholtz, desigualdades inversas y técnicas de localización basadas en funciones burbuja se utilizan para el análisis. Mediante la inclusión de un posprocesamiento completamente local de la solución mixed-VEM, mostramos que el estimador proporciona un control confiable y eficiente sobre el error en la norma H(div) por tramos, entre el flujo aproximado y el postprocesado. De la misma manera, proponemos un análisis de error a posteriori para una discretización mixed-VEM del modelo no lineal de Brinkman descrito anteriormente. Para el análisis hacemos uso nuevamente de técnicas antes mencionadas. Para ambos problemas, proporcionamos experimentos numéricos que muestran la calidad de nuestros esquemas adaptativos.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Gabriel N. GATICA, Mauricio MUNAR, Filander A. SEQUEIRA: A mixed virtual element method for the Boussinesq problem on polygonal meshes. Journal of Computational Mathematics, vol. 39, 3, pp. 392-427, (2021).

Mauricio MUNAR, Filander A. SEQUEIRA: A posteriori error analysis of a mixed virtual element method for a nonlinear Brinkman model of porous media flow. Computers & Mathematics with Applications, vol. 80, 5, pp. 1240-1259, (2020).

Gabriel N. GATICA, Mauricio MUNAR, Filander A. SEQUEIRA: A mixed virtual element method for the Navier-Stokes equations. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, vol. 28, 14, pp. 2719-2762, (2018).

Gabriel N. GATICA, Mauricio MUNAR, Filander A. SEQUEIRA: A mixed virtual element method for a nonlinear Brinkman model of porous media flow. Calcolo, vol. 55, 2, article:21, (2018).