Resumen de la Tesis:

El objetivo de esta tesis es desarrollar nuevos métodos de elementos finitos mixtos para generar soluciones aproximadas a problemas acoplados que se rigen por sistemas de ecuaciones diferenciales parciales, los cuales surgen en la mecánica de fluidos y sólidos. En particular, nos enfocamos en dos modelos: difusión asistida por esfuerzo y un problema de cambio de fase. Debido a la poca información matemática y numérica relacionada con este tipo específico de problemas, en esta tesis proponemos establecer aproximaciones bien puestas de elementos finitos, con la intención de obtener existencia y unicidad de la solución. Así, para el análisis matemático y numérico, introducimos esquemas mixtos y primales, y entonces, usando técnicas y resultados clásicos, probamos la solubilidad de los problemas continuos y discretos, y establecemos las estimaciones de error correspondientes. A su vez, para todos los problemas mencionados anteriormente, se presentan experimentos numéricos que validan la teoría propuesta. Además, se presenta una variedad de ejemplos aplicados de interés, los cuales incluyen: la simulación del daño de electrodos microscópicos en baterías de iones de litio, cambio de fase en una cavidad cuboide, y derretimiento de un material sólido. Comenzamos con el análisis matemático y numérico de un sistema acoplado regido por las ecuaciones de elasticidad-difusión, el cual, modela los fenómenos de transporte y las interacciones químicas dentro de un sólido. El acoplamiento se introduce por medio de la difusión asistida por esfuerzo, donde la propagación de especies se ve afectada debido a los esfuerzos generados por el movimiento del sólido. El sistema se formula en términos del esfuerzo, desplazamiento y rotación para las ecuaciones de elasticidad, mientras que la concentración es usada para el problema de difusión. Para el análisis matemático, se proponen dos formulaciones variacionales, las cuales llamamos: aproximaciones mixta-primal y completamente mixta aumentada. La solubilidad de las formulaciones resultantes se establece combinando argumentos de punto fijo, estimaciones de regularidad, teoría de Babuška-Brezzi y lema de Lax-Milgram. Luego, construimos las correspondientes discretizaciones de Galerkin basadas en espacios de elementos finitos adecuados y derivamos estimaciones de error a priori óptimas. A continuación, analizamos el modelo presentado anteriormente, pero ahora basados en una formulación completamente mixta. Por razones de regularidad, proponemos aquí una formulación mixta aumentada para el problema de difusión, mientras que la clásica formulación mixta de esfuerzo, desplazamiento y rotación se utiliza para las ecuaciones de elasticidad. El esquema de Galerkin resulta en un método aumentado completamente mixto de elementos finitos, el cual utiliza los elementos Arnold-Falk-Winther para la elasticidad, y un triplete dado por Raviart-Thomas en conjunto con elementos polinomiales a trozos para la ecuación mixta de difusión. Los clásicos teoremas de punto fijo de Schauder y Brouwer se utilizan para establecer la existencia de solución, tanto para la formulación continua como para la discreta. Luego, bajo el supuesto de dato pequeño, nos es posible demostrar unicidad de la solución y obtener estimaciones de error a priori óptimas. Adicionalmente, análisis de error a posteriori y adaptatividad computacional son desarrollados para las formulaciones mixta-primal y completamente mixta mencionadas anteriormente. Para el análisis de la confiabilidad de los indicadores de error basados en términos residuales, procedemos usando la condición inf-sup continua, la cual viene dada de la solubilidad del problema continuo, en conjunto con descomposiciones estables de Helmholtz, donde aprovechamos las propiedades de aproximación de los operadores de interpolación. Además, utilizamos técnicas de localización basada en funciones burbuja sobre triángulos y lados, desigualdades inversas y una desigualdad de trazas discreta, para derivar la eficiencia de los estimadores. Por otro lado, trabajamos con un modelo de cambio de fase del tipo Boussinesq dentro de medios porosos. Proponemos un método de elementos finitos para su aproximación numérica, donde, las propiedades de estabilidad, existencia y unicidad de las formulaciones continuas y discretas son establecidas aplicando técnicas clásicas para problemas evolutivos no lineales, tales como: el método de Galerkin, la desigualdad de Gronwall y el teorema del punto fijo de Brouwer. Luego, probamos el rendimiento del método utilizando un problema clásico de referencia para la convección del aire, donde la viscosidad escalada es uno, no hay porosidad, ni términos de entalpía. En segundo lugar, simulamos el derretimiento de un material sólido, donde el cambio de fase se incorpora de dos maneras alternativas: ya sea, usando viscosidad o porosidad como principales efectos que producen el movimiento de la interfaz. Finalmente, cerramos esta tesis presentando dos nuevas formulaciones variacionales aumentadas para un problema estacionario de cambio de fase, las cuales llamamos: formulaciones mixta-primal y totalmente mixta. Aprovechando la regularidad asumida para la velocidad, no necesitamos introducir aquí la rotación como una nueva incógnita, lo cual es una de las novedades de esta tesis. Así, las principales incógnitas asociadas a nuestro método son: el pseudo-esfuerzo, la tensión y la velocidad para las ecuaciones de de Navier-Stokes-Brinkman, mientras que la temperatura, el flujo de calor normal en la frontera y una incógnita auxiliar son introducidas para la ecuación de conservación de energía. Probamos la solubilidad de los problemas continuos y discretos, y derivamos el análisis de error correspondiente.

Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Gabriel N. GATICA, Bryan GOMEZ-VARGAS, Ricardo RUIZ-BAIER: A posteriori error analysis of mixed finite element methods for stress-assisted diffusion problems. Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 409, Art. Num. 114144, (2022).

Mario ÁLVAREZ, Gabriel N. GATICA, Bryan GOMEZ-VARGAS, Ricardo RUIZ-BAIER: New mixed finite element methods for natural convection with phase-change in porous media. Journal of Scientific Computing, vol. 80, 1, pp. 141-174, (2019).

Mario ÁLVAREZ, Bryan GOMEZ-VARGAS, Ricardo RUIZ-BAIER, James WOODFIELD: Stability and finite element approximation of phase change models for natural convection in porous media. Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 360, pp. 117-137, (2019).

Gabriel N. GATICA, Bryan GOMEZ-VARGAS, Ricardo RUIZ-BAIER: Formulation and analysis of fully-mixed methods for stress-assisted diffusion problems. Computers & Mathematics with Applications, vol. 77, 5, pp. 1312-1330, (2019).

Gabriel N. GATICA, Bryan GOMEZ-VARGAS, Ricardo RUIZ-BAIER: Analysis and mixed-primal finite element discretisations for stress-assisted diffusion problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 337, pp. 411-438, (2018).

Otras Publicaciones (ISI)

Luis Miguel DE OLIVEIRA VILACA, Bryan GOMEZ-VARGAS, Sarvesh KUMAR, Ricardo RUIZ-BAIER, Nitesh VERMA: Stability analysis for a new model of multi-species convection-diffusion-reaction in poroelastic tissue. Applied Mathematical Modelling, vol. 84, pp. 425-446, (2020).

Veronica ANAYA, Zoa DE WIJN, Bryan GOMEZ-VARGAS, David MORA, Ricardo RUIZ-BAIER: Rotation-based mixed formulations for an elasticity-poroelasticity interface problem. SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 42, 1, pp. B225–B249, (2020).

Veronica ANAYA, Bryan GOMEZ-VARGAS, David MORA, Ricardo RUIZ-BAIER: Incorporating variable viscosity in vorticity-based formulations for Brinkman equations. Comptes Rendus Mathematique, vol. 357, 6, pp. 552-560, (2019).